Теорема. Різноімені квантори не можна переставляти.
Нехай , . Доведемо, що . Замінимо предикат конкретним предикатом де ,. Використовуємо інтерпретацію для формул та .
,
Скористаємось достатньою умовою того, що формули логіки предикатів не є рівносильні.
Формули та є висловленнями, бо предикат в них конкретний і відсутні вільні змінні
(змінні зв’язані кванторами). Використовуючи метод аналізу та синтезу, визначимо формально істинність формул та .
0
0
1
1
Одержали .
43. Запис математичних тверджень мовою логіки предикатів
Пригадаємо означення границі функції. Число називається границею функції в точці тоді і тільки тоді, коли для довільного існує що для всіх з того що і ||випливає ||. Запишемо другу частину цього означення формулою.
Скориставшись запереченням, запишемо формулою твердження про те, що число не є границею функції.
Перетворимо цю формулу за допомогою відомих логічних тотожностей.
=
==
==
==
=.
Сформулюємо одержаний результат. Число не є границею функції в точці тоді і тільки тоді, коли існує що для довільного існує що і || і ||.
Розглянемо ще один приклад. Запишемо дві формули, одна з яких відповідає означенню періодичної функції.
Ці формули не рівносильні ( [4], ст. 107, №90). Існують не періодичні функції, для яких твердження першої формули виконується. Наприклад функція (ціла частина від . Пригадавши графік цієї функції бачимо, що тут для кожного х існує своє , що ). Сформулюємо означення періодичної функції відповідно до другої формули. Функція називається періодичною тоді и тільки тоді, коли існує що для всіх виконується .