• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначники n-го порядку

а)Поняття визначника n-го порядку

Розглядаючи введені вище визначники другого і третього порядків, встановимо загальне правило побудови визначника довільного n-го порядку.

Визначником матриці першого порядку, утвореної числом , називають число .

Визначником матриці другого порядку називають число

.

Визначником матриці третього порядку називають число

=.

Якщо позначити визначник 3-го порядку (ліва частина) через d, а визначники 2-го порядку (в правій частині) через то матимемо Тут є визначником квадратної матриці 2-го порядку, яка утворюється викресленням у матриці 3-го порядку 1 рядка та j–го стовпчика. Отже, щоб знайти визначник матриці 3-го порядку, треба визначники матриць 2-го порядку, що утворюються внаслідок викреслення в даній матриці першого рядка та першого, другого і третього стовпчиків, помножити відповідно на перший, другий і третій елементи першого рядка даної матриці, поставити перед добутками по черзі знаки плюс, мінус і потім додати.

Легко бачити, що за аналогічними правилами можна знайти і визначник матриці 2-го порядку: де і– визначники матриць і відповідно.

Отримане правило покладене в основу визначення поняття визначника n-го порядку. Вважаючи, що визначники матриць порядків 1,2,3,...,n-1 вже визначені,

приймають таке означення:

визначникомматриці n-го порядку називають число

,

де - визначник матриці порядку n-1, яка утворюється внаслідок викреслення в матриці А першого рядка і j-го стовпчика.

Позначають .

Якщо в матриці А викреслити і-й рядок та j-й стовпчик, тобто рядок і стовпчик, на перетині яких знаходиться елемент , то отримається квадратна матриця (n-1)-го порядку, визначник якої називають мінором матриці А, який відповідає елементові , або мінором елемента у визначнику , і позначається символом . Тобто,

=.

Тоді .

Звідси випливає означення визначника n-го порядку:

визначником квадратної матриці n-го порядку називають алгебраїчну суму добутків елементів її першого рядка на відповідні їм мінори, взятих почергово із знаками плюс та мінус.

Розглянемо тепер ще один підхід до означення поняття визначника n–го порядку (без використання мінорів).

Теорема. Для довільної квадратної матриці

,

де - кількість інверсій у перестановці з чисел 1,2,...,n,причому підсумування ведеться за всіма n! перестановками із n чисел.

Доведення. Скористаємось методом математичної індукції за n.

Нехай n=2.

Припустимо, що теорема справедлива дляматриць порядку n-12 і доведемо її справедливість для довільної матриці порядку n.

За відомою нам формулою

=.

Тут мінор є мінором (n-1)-го порядку, тому, згідно індуктивного припущення, він виражається через свої елементи так:

,

де підсумовування ведеться за всіма перестановками з (n-1) чисел 1,2,…,α₁-1,α₁+1,…,n.

Із чисел α₁,α₂,…,α_n, крім пар, утворюваних числами α₂,α₃,…,α_n, можна утворити ще тільки пари (α₁,α₂), (α₁,α₃),…,(α₁,α_n), серед яких тільки α₁-1 утворюють інверсії, оскільки серед чисел α₂,α₃,…,α_n, менших від α₁, є тільки α₁-1. Звідси випливає, що N(α₁,α₂,…,α_n) = N(α₂,…,α_n)+α₁-1, і тому

.

Врахувавши вищесказане, отримаємо:

що й треба довести.

Отже, теорема справедлива для всіх натуральних n.▲

Добутки називають членами визначника матриці А. Як видно, кожен член визначника матриці n-го порядку є добутком n елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпчика. Знак, із яким член входить до визначника, визначається кількістю інверсій в перестановці (α₁,α₂,…,α_n), зокрема, парністю цієї перестановки: якщо перестановка парна, то член має знак плюс, якщо непарна – то мінус. Але парність перестановки (α₁,α₂,…,α_n) співпадає із парністю підстановки , де 1-й і 2-й рядки є відповідно 1-ми та 2-ми індексами даного члена визначника. Отже, знак члена визначника визначається парністю підстановки, утвореної індексами його елементів.

Враховуючи вищесказане, сформулюємо ще одне рівносильне попередньому означення визначника n-го порядку.

Визначником матриці n-го порядку називається алгебраїчна сума n! членів, якими є всеможливі добутки елементів матриці, взятих по одному з кожного її рядка і кожного стовпчика, причому член береться із знаком плюс, якщо його індекси утворюють парну підстановку, і мінус – якщо непарну.

б) Властивості визначника n-го порядку

Перетворення матриці, при якому її рядки стають стовпчиками з тими ж номерами, називається транспонуванням даної матриці. Транспонованою щодо даної матриці А є матриця

Транспонуванням квадратної матриці є, по суті, її поворот навколо діагоналі на кут 180º.

Властивість 1. Визначник не змінюється при транспонуванні.

Згідно означення, визначник матриці А дорівнює алгебраїчний сумі n! членів вигляду , де індекси α₁,α₂,…,α_n утворюють деяку перестановку із чисел 1,2,…,n. Нехай є довільно вибраним членом визначника матриці А. Однак всі множники цього добутку є і елементами матриці і містяться в різних його стовпчиках і різних рядках. Тому даний довільний добуток є членом і визначника . Оскільки знак цього члена у визначнику визначається парністю підстановки , а у визначнику – парністю підстановки , які мають однакову парність, то даний член в обох визначниках береться з однаковим знаком.

Отже, обидва визначники та є сумами одних і тих самих членів, взятих з однаковими знаками, тобто є рівними.▲

Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями довільні два рядки, то

визначник тільки змінить знак на протилежний.

Нехай у визначнику помінялись місцями k-й та l-й рядки. Знак довільного члена визначника визначається парністю підстановки

,

а у новому визначнику – підстановки

,

яка має протилежну парність із-за наявності транспозиції (l,k). Отже, кожний довільний член входить до обох визначників з протилежними знаками. Оскільки обидва визначники складаються з одних і тих же членів, що входять до них з протилежними знаками, то від переставлення місцями двох рядків визначник тільки змінить знак. ▲

Властивість 3. Якщо всі елементи одного з рядків визначника помножити на

деяке число λ, то визначник помножиться на λ.

Нехай всі елементи і-го рядка визначника помножено на число λ. Оскільки до кожного члена визначника входить співмножником один елемент з і-го рядка, то в кожному члені з’явиться множник λ, тобто визначник помножиться на λ.

Доведена властивість може бути сформульована інакше:

спільний множник всіх елементів довільного рядка визначника можна винести за знак визначника.

Властивість 4. Якщо кожен елемент і-го рядка визначника є сумою двох доданків

a_ij=b_ij+c_ij, (j=1,2,…,n), то визначник дорівнює сумі двох визначників, в яких всі рядки, крім і-го, такі самі, як і в даного визначника, а і-й рядок в першому визначнику складається з елементів b_ij, а в другому – c_ij.

▲

Ясно, що властивість 4 можна поширити на випадок, коли кожен елемент і-го рядка є сумою довільної кількості доданків.

Властивість 5. Визначник, який містить хоча б один нульовий рядок, дорівнює

нулю.

Дійсно, якщо всі елементи деякого і-го рядка є нулями, то, оскільки один із цих елементів обов’язково увійде співмножником до кожного члена визначника, всі члени визначника, а, значить, і сам визначник дорівнюватиме нулю. ▲

Властивість 6. Визначник, що містить два однакові рядки, дорівнює нулю.

Дійсно, помінявши місцями обидва однакові рядки визначника , отримаємо (за власт. 2) визначник -. Оскільки помінялись місцями однакові рядки, то насправді визначник не змінився. Отже, = -, тобто 2=0, звідки =0.▲

Властивість 7. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Нехай l-йрядок є добутком k-го рядка на число λ (тобто ці рядки пропорційні). Винесемо з l-горядка λ і отримаємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю.▲

Властивість 8. Визначник, що містить рядок, який є лінійною комбінацією інших

його рядків, дорівнює нулю.

Якщо і-й рядок визначника є лінійною комбінацією m інших його рядків (<n), то кожен елемент і-го рядка є сумою m доданків, тому визначник дорівнює сумі m визначників, в кожного з яких і-йрядокбуде пропорційний одному з інших його рядків. Всі ці визначники дорівнюють нулю, а тому нулю дорівнює і визначник .▲

Властивість 9. Якщо до одного з рядків визначника додати інший його рядок, помножений на деяке число λ, то визначник не зміниться.

Якщо до і-го рядка визначника додати s-ййого рядок (s ≠ i), помножений на деяке число λ, то кожен елемент і-го рядка в новому визначнику буде мати вигляд: (j=1,2,..,n), тому новий визначник дорівнює сумі двох визнач-ників, перший з яких є , а другий дорівнює нулю як такий, що містить пропорційні і-йта s-й рядки. ▲

Ясно, що визначник не зміниться, якщо до одного з його рядків додати довільну лінійну комбінацію інших його рядків.

в) Обчислення визначників n-го порядку

В пункті а) отримано формулу, яка дає можливість обчислення визначника n-го порядку:

де M_ij – мінор матриці, який відповідає елементові a_ij (j=1,2,…,n). Добуток

(-1)^i+jM_ij називають алгебраїчним доповненням елемента а_ij у визначнику і позначають А_ij .

Теорема 6.1. Визначник матриці А дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого його рядка на їх алгебраїчні доповнення.

.

Доведення.

При і=1твердження справедливе:

.

Замінивши тепер кожен добуток на А_1j, отримаємо:

.

Нехай і>2. Переставляючи послідовно і-йрядок визначника з кожним, що стоїть над ним, через і-1 переставлянь отримаємо визначник:

.

(згідно власт. 2), звідки .

Застосуємо до визначника відоме означення, отримаємо

.

Підставимо це значення в det A:

, тобто

Оскільки , то

.

Із того, що , випливає

,

що й треба довести.▲

Оскільки рядки і стовпчики визначника рівноправні, то аналогічний розклад можливий і за елементами довільного стовпчика.

Теорема 6.2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка визначника detA на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка дорівнює нулю:

Доведення.

Розкладемо визначник detA за елементами s-го рядка:

Алгебраїчні доповнення А_sj (j=1,2,...,n) не залежать від елементів а_sj, тому остання рівність буде справедливою при будь-яких значеннях елементів а_sj , зокрема й при а_sj = а_ij (тобто, коли на місці елементів s-го рядка знаходитимуться елементи і-горядка). Але при а_sj=а_ij визначник detA матиме два однакові рядки і тому дорівнюватиме нулю. Тому

,

що й треба довести. ▲

Ясно, що аналогічний висновок має місце і для розкладу за елементами довільного стовпчика.

Приклад.

Обчислити визначник, розклавши його за елементами 3 рядка:

Чим більше елементів у рядку (чи стовпчику) визначника дорівнюють нулю, тим простішим є розклад визначника за елементами даного рядка. Ясно, що найпростішим є варіант, коли деякий рядок (стовпчик) містить тільки один ненульовий елемент. Цього можна добитися з допомогою виконання над рядками (стовпчиками) визначника відповідних елементарних перетворень. Зокрема, в деякому j-томустовпчику можна отримати нуль в деякому і-му рядку, якщо відняти від і-го рядка, наприклад, перший рядок, помножений на , чи другий рядок, помножений на і т. д.

Приклад.

Обчислити визначник: .

Розв’язування.

Виберемо 4^й стовпчик:

Виберемо 4^й рядок:

Читайте також:

1. RLC-фільтр четвертого порядку
2. Аспекти організаційного порядку
3. Афінний шифр k-ro порядку.
4. Бінарне відношення порядку.
5. Вестфальский мир як основа європейського правопорядку 1648-1815 рр.
6. Визначення порядку черги фаз трифазної системи
7. Визначники
8. Визначники
9. Визначники квадратних матриць
10. Визначники малих порядків
11. Відбулися кардинальні зміни у світовому порядку. На авансцену виходить Європа1.

Переглядів: 6849