![]()
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
||||||||||||||||
Теорема Остроградського – Гаусадля електростатичного поля. 1. Потік вектора напруженості. 2. Теорема Гауса для електростатичного поля. 3. Локальне формулювання теореми Остроградського-Гауса. 4. Рівняння безперервності.
Російський математик Н.В.Остроградський сформулював теорему для довільних векторних полів. Незалежно від нього також теорема була сформульована для електростатичного поля німецьким вченим Гаусом. Ця теорема дозволяє спростити обчислення характеристик поля заряджених систем складної форми. 1. Потік вектора напруженості (ПВ). ПВ – це поняття одне з найважливіших в векторній алгебрі, наприклад: кажуть “потік вектора Ā”. Оскільки електричні та магнітні поля – векторні, то векторна алгебра широко використовується в математичному апараті електрики та магнетизму. Вперше поняття ПВ було примінено в гідродинаміці, тобто науці, що вивчає закони руху рідин. Почнемо і ми вивчення цього поняття з потоку рідини.
Знайдемо об’єм рідини, що протече через S за час dt
Коли площадка знаходиться під кутом
Тоді За одиницю часу через S протече такий об’єм рідини dV/dt, який вміщується в паралепіпеді, з площею основи S та стороною ucosα:
З векторної алгебри відомо, що скалярний добуток це: Тому Що таке в останній формулі вектор Застосуємо термін “вектор площадки”:
Вектор площадки це такий вектор, модуль якого чисельно дорівнює площі вибраної площадки, а напрямок вектора При цьому Сторона площадки, з якої виходить вектор Коли поверхня, через яку треба обчислити потік, має складну форму, то її розбивають на елементарні ділянки dS. Тоді
Вираз
Формула (А) справедлива для вакуума. Як це не дивно, але отриманий результат можна використовувати і для довільної замкненої поверхні S, що оточує заряд Q. Розглянемо силову лінію, що йде по напрямку 0 – 0. В точці 1 потік вектора напруженості має позитивне значення, бо вектор площадки тут позитивний. В точці 2 силова лінія входить в об’єм , тут вектор площадки негативний. В точці 3 вектор силової лінії виходить з поверхні і знову потік вектора напруженості позитивний. Сумарний потік буде (+) + (-) +(+) = +. Тобто три перетини однієї і тії замкнутої поверхні еквівалентні одному, тому
Якщо в середині довільної замкненої поверхні розташовані N точкових зарядів q1,q2,…qn, то результуючий потік Ф цієї системи зарядів можна обчислити з використанням принципу суперпозиції
В останньому виразі використано формулу (В). Співвідношення (С) відоме як теорема Гауса для електростатичного поля: потік вектора напруженості через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів в ній, поділеній на діелектричну сталу Якщо знехтуємо дискретною природою електричного заряду і будемо вважати його неперервним і розподіленим по об’єму з густиною
що надає теоремі Гауса таку форму
Видно, що потік Ф зовсім не залежить від конкретного розділу заряду всередині S, а лише від його повної величини. Формула (0) виконується для вакууму. 3. Локальне формулювання теореми Остроградського – Гауса. Локальна, або диференційна форма теореми Остроградського – Гауса застосовується, коли заряд можна вважати безперервним і рівномірно розподіленим у просторі з густиною Виділимо у просторі куб із сторонами dx, dy, dz в межах якого густина заряду
Виділимо грані 1 і 2 цього кубу. Нормалі до них направлені вдовж х. Обчислимо потоки вектора напруженості через ці грані з урахуванням залежності Е=Е(х). Результуючий потік через дві грані буде
де Формули аналогічні (Е) виведемо для напрямків y і z
Результуючий потік
Права частина написана згідно з теоремою Остроградського – Гауса, тобто із-за того, що сумарний потік дорівнює заряду в об’ємі. Скоротимо в (J) на dV
Можна скоротити запис т. Остроградського-Гауса і надати її в диференційній формі, якщо скористатись диференційний оператором
Скалярний добуток векторів Тоді формула Остроградського-Гауса буде
враховуючи, що Можна скористатись поняттям дивергенція:
divЕ – розтікання вектора Дивергенція – математичне поняття, що застосовується для визначення процесів народження (генерації), знищення (рекомбінації) і збереження фізичних величин.
де з (М) відомо Тоді 4. Рівняння безперервності. Теорему Остроградського – Гауса ми отримали у вигляді:
Закон збереження заряду, якщо його розподіл залежить від координати
тобто зміна заряду в будь-якому об’ємі V може відбутись лише при втіканні, або витіканні струму густиною ĵ через замкнену поверхню S. Змінимо ліву частину (А)
оскільки V ¹ V(t) і S ¹ S(t) то диференціал інтегралу дорівнює інтегралу від диференціалу. Права частина (1) згідно теореми О.-Г.
Підставимо (2) і (3) в (1)
або
Читайте також:
|
|||||||||||||||||
|