• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Остроградського – Гауса

для електростатичного поля.

1. Потік вектора напруженості. 2. Теорема Гауса для електростатичного поля. 3. Локальне формулювання теореми Остроградського-Гауса. 4. Рівняння безперервності.

Російський математик Н.В.Остроградський сформулював теорему для довільних векторних полів. Незалежно від нього також теорема була сформульована для електростатичного поля німецьким вченим Гаусом. Ця теорема дозволяє спростити обчислення характеристик поля заряджених систем складної форми.

1. Потік вектора напруженості (ПВ).

ПВ – це поняття одне з найважливіших в векторній алгебрі, наприклад: кажуть “потік вектора Ā”.

Оскільки електричні та магнітні поля – векторні, то векторна алгебра широко використовується в математичному апараті електрики та магнетизму.

Вперше поняття ПВ було примінено в гідродинаміці, тобто науці, що вивчає закони руху рідин. Почнемо і ми вивчення цього поняття з потоку рідини.

Виберемо серед потоку рідини малу площадку S, що буде перпендикулярний до вектора швидкості руху рідини .

Знайдемо об’єм рідини, що протече через S за час dt

.

Коли площадка знаходиться під кутом до потоку, то її ефективна площа зменшиться

.

Тоді .

За одиницю часу через S протече такий об’єм рідини dV/dt, який вміщується в паралепіпеді, з площею основи S та стороною ucosα:

.

З векторної алгебри відомо, що скалярний добуток це: .

Тому .

Що таке в останній формулі вектор?

Застосуємо термін “вектор площадки”:

.

Вектор площадки це такий вектор, модуль якого чисельно дорівнює площі вибраної площадки, а напрямок вектора співпадає з напрямком нормалі до площадки .

При цьому можна провести на дві сторони. За позитивний напрямок вибирають той, що йде із замкненої поверхні.

Сторона площадки, з якої виходить вектор називається зовнішньою.

Коли поверхня, через яку треба обчислити потік, має складну форму, то її розбивають на елементарні ділянки dS. Тоді

.

Вираз абозустрічається в різноманітних галузях фізики. При цьому природа вектора може бути самою різноманітною. Але вираз , або власне ім’я потік вектора через площадку .

.

, або

, Е_п - проекція Е на нормаль n до площадки S.

2. Теорема Гауса для електростатичного поля.

Дана теорема пов’язує потік вектора напруженості із замкненої поверхні з електричними зарядами, що знаходяться у ній. На рис.1 показаний заряд і сферична поверхня S₁, що його оточує. В усіх точках цієї поверхні напруженість поля одна і та ж.

. (А)

Формула (А) справедлива для вакуума.

Як це не дивно, але отриманий результат можна використовувати і для довільної замкненої поверхні S, що оточує заряд Q.

Розглянемо силову лінію, що йде по напрямку 0 – 0. В точці 1 потік вектора напруженості має позитивне значення, бо вектор площадки тут позитивний. В точці 2 силова лінія входить в об’єм , тут вектор площадки негативний. В точці 3 вектор силової лінії виходить з поверхні і знову потік вектора напруженості позитивний. Сумарний потік буде (+) + (-) +(+) = +. Тобто три перетини однієї і тії замкнутої поверхні еквівалентні одному, тому

. (В)

Якщо в середині довільної замкненої поверхні розташовані N точкових зарядів q₁,q₂,…q_n, то результуючий потік Ф цієї системи зарядів можна обчислити з використанням принципу суперпозиції

. (С)

В останньому виразі використано формулу (В).

Співвідношення (С) відоме як теорема Гауса для електростатичного поля: потік вектора напруженості через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів в ній, поділеній на діелектричну сталу.

Якщо знехтуємо дискретною природою електричного заряду і будемо вважати його неперервним і розподіленим по об’єму з густиною , то повний заряд у середині поверхні S можна обчислити, як

,

що надає теоремі Гауса таку форму

. (0)

Видно, що потік Ф зовсім не залежить від конкретного розділу заряду всередині S, а лише від його повної величини.

Формула (0) виконується для вакууму.

3. Локальне формулювання теореми Остроградського – Гауса.

Локальна, або диференційна форма теореми Остроградського – Гауса застосовується, коли заряд можна вважати безперервним і рівномірно розподіленим у просторі з густиною . Тобто розглянемо уточнення формули (0) з минулого параграфу.

Виділимо у просторі куб із сторонами dx, dy, dz в межах якого густина заряду , тобто

Виділимо грані 1 і 2 цього кубу. Нормалі до них направлені вдовж х. Обчислимо потоки вектора напруженості через ці грані з урахуванням залежності Е=Е(х).

Результуючий потік через дві грані буде

, (Е)

де - елементарний об’єм, у якому зосереджено заряд .

Формули аналогічні (Е) виведемо для напрямків y і z

.

Результуючий потік

. (J)

див.ф-лу (В).

Права частина написана згідно з теоремою Остроградського – Гауса, тобто із-за того, що сумарний потік дорівнює заряду в об’ємі.

Скоротимо в (J) на dV

. (К)

Можна скоротити запис т. Остроградського-Гауса і надати її в диференційній формі, якщо скористатись диференційний оператором (набла)

.

Скалярний добуток векторів і буде

Тоді формула Остроградського-Гауса буде

,

враховуючи, що .

Можна скористатись поняттям дивергенція: .

, (М)

divЕ – розтікання вектора , що характеризує інтенсивність витоку вектора напруженості з околиць точки, в якій div обчислюється.

Дивергенція – математичне поняття, що застосовується для визначення процесів народження (генерації), знищення (рекомбінації) і збереження фізичних величин.

, ,

де з (М) відомо , і .

Тоді .

4. Рівняння безперервності.

Теорему Остроградського – Гауса ми отримали у вигляді:

.

Закон збереження заряду, якщо його розподіл залежить від координати матиме вигляд:

, (1)

тобто зміна заряду в будь-якому об’ємі V може відбутись лише при втіканні, або витіканні струму густиною ĵ через замкнену поверхню S.

Змінимо ліву частину (А)

(2)

оскільки V ¹ V(t) і S ¹ S(t) то диференціал інтегралу дорівнює інтегралу від диференціалу.

Права частина (1) згідно теореми О.-Г.

. (3)

Підставимо (2) і (3) в (1)

, (4)

або

.

коли .

.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Друга теорема Вейєрштрасса
3. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА
4. Інтегральна теорема Лапласа
5. Локальна теорема Лапласа
6. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
7. Метод Гауса
8. Метод Гауса - Жордано
9. Метод послідовного виключення невідомих або метод Гауса.
10. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
11. На підставі теореми Гауса
12. Напряженность поля. Теорема Гаусса

Переглядів: 2544