• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Фокальні властивості кривих другого порядку.

Спорідненість всіх трьох кривих проявляється і в спільних так званих фокальних властивостях. Введемо спершу поняття директрис для еліпса та гіперболи.

Означення 5. Директрисами еліпса або гіперболи називаються прямі, перпендикулярні фокальній осі еліпса або гіперболи, симетрично розташовані на відстані від центру кривої (випадок кола, коли , тут не розглядається).

Таким чином і еліпс, і гіпербола мають по дві директриси (як і по два фокуси), які задаються рівняннями . Поняття директриси параболи і її рівняння були означені вище. Неважко помітити, що директриси всіх трьох кривих не перетинають самих кривих. Дійсно, для еліпса , отже, , тобто директриси еліпса розташовані зовні його (див. рис. 4).

Для гіперболи ж , отже, , тобто директриси розміщені між гілками гіперболи. Для точок параболи , директриса знаходиться в півплощині , а ексцентриситет параболи вважають рівним 1: .

Основна фокальна властивість кривих другого порядку визначена наступною теоремою.

Теорема. Відношення довжини фокального радіуса кожної точки довільної кривої другого порядку до відстані цієї точки до односторонньої з фокусом директриси є величиною сталою, рівною ексцентриситету кривої тобто (11)

Доведення.Позначимо, як і раніше, фокальні радіуси довільної точки еліпса або гіперболи та , а відстані цієї точки до відповідних директрис – та . Отже, для лівого фокуса і лівої директриси еліпса маємо: .

Цілком аналогічно для правого фокуса та правої директриси еліпса : .

Для гіперболи необхідно окремо розглянути точки лівої та правої гілок. Отже, для точок лівої гілки маємо:

; .

Аналогічно, для точок правої гілки маємо: ; .

Для параболи безпосередньо з рівняння (10) випливає , що цілком виправдовує визначення ексцентриситету параболи.

Читайте також:

1. Аеродинамічні властивості колісної машини
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Аналізатори людини та їхні властивості.
4. Атрибутивні ознаки і властивості культури
5. Афінний шифр k-ro порядку.
6. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
7. Бінарне відношення порядку.
8. Біосфера Землі, її характерні властивості
9. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
10. Будова і властивості аналізаторів
11. Векторний добуток і його властивості.
12. Види і властивості радіоактивних випромінювань

Переглядів: 2389