МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Неоднорідна система лінійних рівнянь.Повернемось до розгляду неоднорідної системи (1): . Означення 5. Однорідна система з тою самою матрицею системи називається зведеною системою для системи (1). Покажемо, що загальний розв’язок зведеної однорідної системи (2) істотно пов'язаний з розв’язками неоднорідної системи (1). Припущення про існування розв’язків системи (1) згідно з теоремою Кронекера-Капеллі означає рівність рангів: . Вважатимемо цю умову виконаною. Теорема 5. Нехай та – розв’язки системи (1). Тоді вектор-стовпчики та будуть розв’язками зведеної системи (2). ► Підставимо в ліву частину системи (1) наприклад, вектор-стовпчик та використаємо дистрибутивність множення матриць: , отже, , що і треба було показати. ◄ Теорема 6. Нехай та – розв’язки системи (1) з стовпчиками вільних членів, рівними відповідно та . Тоді вектор-стовпчик буде розв’язком системи (1) з правою частиною . Доведення повністю аналогічне попередньому. Теорема 7. Нехай – деякий розв’язок системи (1). Тоді довільний векторбуде розв’язком цієї ж системи тоді і тільки тоді, коли знайдеться такий розв’язок зведеної системи (2), що . ► Необхідність. Нехай є розв’язком системи (1). Позначимо . Тоді з теореми 5 випливає, що є розв’язком зведеної системи (2). Достатність. Нехай є розв’язком системи (1), – розв’язок зведеної системи (2). Тоді з теореми6 маємо, що вектор-стовпчик також буде розв’язком системи (1) з тою самою правою частиною. ◄ Наслідок. Нехай – фундаментальна система розв’язків однорідної системи (2), а – деякий розв’язок системи (1) (його називають частинним розв’язком). Тоді загальний розв’язок неоднорідної системи (1) визначається наступною формулою: . (4) Тут – довільні сталі. Приклад 2. Знайти загальний розв’язок системи: Будемо виконувати допустимі перетворення над рядками розширеної матриці системи, зводячи її до спрощеного вигляду: Отже,. За базисні змінні виберемо , тоді – незалежна змінна. Перетворимо тепер базисний мінор допустимими перетвореннями рядків на одиничну матрицю: Запишемо рівняння, що відповідають спрощеній системі, та знайдемо залежність базисних змінних від незалежної змінної: Частинний розв’язок неоднорідної системи (1) визначимо, поклавши, наприклад, . Тоді . Оскільки , фундаментальна система розв’язків зведеної однорідної системи (2) складається з одного вектора, наприклад, при : . Отже, , тобто , де – довільна стала. Приклад 3. Знайти загальний розв’язок системи: Неважко зрозуміти, що ранг цієї системи рівний 1, отже, простір розв’язків цієї системи має розмірність 2, і власне, описується рівнянням площини . Використаємо очевидність цього прикладу, щоб зробити більш наочною структуру загального розв’язку. Маємо: , фундаментальна система розв’язків складається з векторів та , отже, . Звертіть увагу, вектори та є базисом двовимірного підпростору – площини , паралельної площині , яка визначена системою. Вектор же забезпечує зсув цієї площини відносно першої. Таким чином, розв’язки неоднорідної системи не утворюють лінійного простору, проте можуть бути одержані з лінійного простору, породженого зведеною однорідною системою, зсувом на деякий вектор, що належить множині розв’язків неоднорідної системи.
Читайте також:
|
||||||||
|