• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Неоднорідна система лінійних рівнянь.

Повернемось до розгляду неоднорідної системи (1): .

Означення 5. Однорідна система з тою самою матрицею системи називається зведеною системою для системи (1).

Покажемо, що загальний розв’язок зведеної однорідної системи (2) істотно пов'язаний з розв’язками неоднорідної системи (1). Припущення про існування розв’язків системи (1) згідно з теоремою Кронекера-Капеллі означає рівність рангів: . Вважатимемо цю умову виконаною.

Теорема 5. Нехай та – розв’язки системи (1). Тоді вектор-стовпчики та будуть розв’язками зведеної системи (2).

► Підставимо в ліву частину системи (1) наприклад, вектор-стовпчик та використаємо дистрибутивність множення матриць:

, отже, , що і треба було показати. ◄

Теорема 6. Нехай та – розв’язки системи (1) з стовпчиками вільних членів, рівними відповідно та . Тоді вектор-стовпчик буде розв’язком системи (1) з правою частиною .

Доведення повністю аналогічне попередньому.

Теорема 7. Нехай – деякий розв’язок системи (1). Тоді довільний векторбуде розв’язком цієї ж системи тоді і тільки тоді, коли знайдеться такий розв’язок зведеної системи (2), що .

► Необхідність. Нехай є розв’язком системи (1). Позначимо . Тоді з теореми 5 випливає, що є розв’язком зведеної системи (2).

Достатність. Нехай є розв’язком системи (1), – розв’язок зведеної системи (2). Тоді з теореми6 маємо, що вектор-стовпчик також буде розв’язком системи (1) з тою самою правою частиною. ◄

Наслідок. Нехай – фундаментальна система розв’язків однорідної системи (2), а – деякий розв’язок системи (1) (його називають частинним розв’язком). Тоді загальний розв’язок неоднорідної системи (1) визначається наступною формулою:

. (4)

Тут – довільні сталі.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок системи:

Будемо виконувати допустимі перетворення над рядками розширеної матриці системи, зводячи її до спрощеного вигляду:

Отже,. За базисні змінні виберемо , тоді – незалежна змінна. Перетворимо тепер базисний мінор допустимими перетвореннями рядків на одиничну матрицю:

Запишемо рівняння, що відповідають спрощеній системі, та знайдемо залежність базисних змінних від незалежної змінної:

Частинний розв’язок неоднорідної системи (1) визначимо, поклавши, наприклад, . Тоді . Оскільки , фундаментальна система розв’язків зведеної однорідної системи (2) складається з одного вектора, наприклад, при : . Отже, , тобто , де – довільна стала.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок системи:

Неважко зрозуміти, що ранг цієї системи рівний 1, отже, простір розв’язків цієї системи має розмірність 2, і власне, описується рівнянням площини . Використаємо очевидність цього прикладу, щоб зробити більш наочною структуру загального розв’язку. Маємо: , фундаментальна система розв’язків складається з векторів та , отже, . Звертіть увагу, вектори та є базисом двовимірного підпростору – площини , паралельної площині , яка визначена системою. Вектор же забезпечує зсув цієї площини відносно першої. Таким чином, розв’язки неоднорідної системи не утворюють лінійного простору, проте можуть бути одержані з лінійного простору, породженого зведеною однорідною системою, зсувом на деякий вектор, що належить множині розв’язків неоднорідної системи.

Читайте також:

1. Active-HDL як сучасна система автоматизованого проектування ВІС.
2. II. Бреттон-Вудська система (створена в 1944 р.)
3. II. Критерій найбільших лінійних деформацій
4. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
5. IV. УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО
6. V. Систематизація і узагальнення нових знань, умінь і навичок
7. VI. Система навчаючих завдань для перевірки кінцевого рівня завдань.
8. VI. Система навчаючих завдань для перевірки кінцевого рівня завдань.
9. VI. Узагальнення та систематизація знань
10. VII. Закріплення нового матеріалу і систематизація знань.
11. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
12. Автоматизована система ведення державного земельного кадастру

Переглядів: 3369