• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Однорідна система лінійних рівнянь.

Означення 4. Якщо в системі (1) вектор-стовпчик нульовий:

, (надалі просто ) (2)

то така система називається однорідною.

Зауваження. Однорідна система (2), очевидно, завжди сумісна. Вона має принаймні один розв’язок , який називається тривіальним. Цікавість являють нетривіальні розв’язки цієї системи, якщо вони існують.

Наслідок з теореми Крамера. Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має єдиний (тривіальний) розв’язок, тоді і тільки тоді, коли . Отже, для існування нетривіальних розв’язків необхідно і достатньо, щоб , або .

Позначимо через множину всіх розв’язків однорідної системи (2) та дослідимо властивості цих розв’язків.

Теорема 2. Якщо та – розв’язки системи (2) , то і є роз в’язком, або .

► Дійсно, з дистрибутивності множення матриць випливає, що . ◄

Теорема 3. Якщо – розв’язок системи (2) , то і є розв’язком , або .

► Справді, . ◄

Наслідок. Оскільки , то множина розв’язків системи (2) – лінійний простір, який є частиною простору , тобто його підпростором.

Виявляється, що розмірність цього підпростору визначається наступною теоремою.

Теорема 4. Розмірність простору розв’язків однорідної системи (2) рівна , де – кількість невідомих, – ранг матриці системи.

Означення 3. Довільний базис простору розв’язків однорідної системи (2) називається фундаментальною системою розв’язків.

Означення 4. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи (2), в якій вектор-стовпчики вільних змінних рівні стовпчикам одиничної матриці, називається нормальною фундаментальною системою розв’язків.

З теореми 4 випливає наслідок, який визначає структуру загального розв’язку однорідної системи (2).

Наслідок. Загальний розв’язок однорідної системи (2) є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи розв’язків: . (3)

Тут – довільні сталі.

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок системи:

Запишемо матрицю системи та використаємо допустимі перетворення, щоб визначити її базисний мінор (першим рядком відразу запишемо третій, бо в ньому перший коефіцієнт рівний 1):

Таким чином , . За базисні змінні вибираємо , тоді – незалежні змінні. Продовжимо допустимі перетворення над матрицею системи таким чином, щоб базисний мінор (через позначений мінор, утворений елементами матриці, що належать одночасно рядкам з індексами та стовпчикам з індексами ) зробити одиничним:

Тепер базисні змінні легко виражаються через вільні: . Звідки випливає :, або у матричній формі:

Вектор-стовпчики цієї матриці утворюють нормальну фундаментальну систему розв’язків даної системи: , , . Загальний розв’язок даної системи виражається формулою (3), яка в координатній формі набуває вигляду:

, де – довільні сталі.

Читайте також:

1. Active-HDL як сучасна система автоматизованого проектування ВІС.
2. II. Бреттон-Вудська система (створена в 1944 р.)
3. II. Критерій найбільших лінійних деформацій
4. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
5. IV. УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО
6. V. Систематизація і узагальнення нових знань, умінь і навичок
7. VI. Система навчаючих завдань для перевірки кінцевого рівня завдань.
8. VI. Система навчаючих завдань для перевірки кінцевого рівня завдань.
9. VI. Узагальнення та систематизація знань
10. VII. Закріплення нового матеріалу і систематизація знань.
11. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
12. Автоматизована система ведення державного земельного кадастру

Переглядів: 1794