Теорема додавання імовірностей сумісних подій

Теорема 5.Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об'єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи, тобто

Р(А U В] = Р(А) + Р(В) - Р(А • B). (3.6)

Доведення. Згідно з умовою теореми події А та В сумісні, тому A U В з'явиться, якщо з'явиться одна з трьох несумісних подій A B , А або В.

Згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій одержимо

Р(А U В) = Р(А В) + Р(А ) + Р(В). (3.7)

Подія А з'явиться, якщо з'явиться одна з двох несумісних подій A B або А .

Згідно з теоремою додавання імовірностей несумісних подій

Р(А) = Р(А В) + Р(А ) → - Р(А ) = Р(А) - Р(А В). (3.8)

Аналогічно одержимо

Р(В) = Р(А В) + Р( В) → - Р(В) = Р(В) - Р(А В). (3.9)

Підставимо (3.8) та (3.9) у формулу (3.7),тоді одержимо рівність (3.6), яку треба було довести.

Зауваження 2. Якщо події А та В незалежні, то формула (3.6) приймає вигляд

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) • Р(В).

Для залежних випадкових подій маємо

Р(А U В) = Р(А) 4 Р(В) - Р(А) • Р_А (В).

Приклад 8. У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100. Яка імовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку

а) трьом замовникам; б) чотирьом замовникам; в) дванадцяти замовникам; г) трьом або чотирьом замовникам?

Розв’язання.Позначимо події

А - одержана кількість виробів ділиться на 3 без залишку;

В - одержана кількість виробів ділиться на 4 без залишку.

Використовуючи класичне означення імовірності, знаходимо

а) Р(А) = 33/100; б) Р(В) = 25/100; в) Р(А • В) = 8/100;

Події А та В - сумісні, тому за формулою (4.1) одержимо

г) Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) • Р(В) = 33/10 + 25/100 – 8/100 = 1/2.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Імовірність появи хоча б однієї випадкової події	\|	Надійність системи

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.