Нехай у полярній системі координат є крива, задана рівнянням
, (1.7)
де -– неперервна функція при .
Обчислимо площу сектора , обмеженого кривою і променями , (рис.6)
Рис.6
Розіб’ємо сектор на частин променями , , ,…, , . Позначимо через кут між проведеними променями і , а через – довжину радіус-вектора точки, що відповідає деякому куту , такому, що . Розглянемо круговий сектор з радіусом і центральним кутом , його площа дорівнює . Сумуючи ці площі для всіх значень (), отримаємо площу ступінчастої фігури
.
Ця сума є інтегральною для функції на відрізку ; її границя при є визначеним інтегралом
. (1.8)
Приклад 1.4.Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою .
á Складемо таблицю значень функції для окремих значень аргумента
і по цих точках побудуємо наближено кардіоїду.
Оскільки кардіоїда, очевидно, симетрична відносно полярної осі, то її площа дорівнює подвоєній площі її верхньої половини і обчислюється: