Обчислення довжини дуги у декартовій системі координат
Обчислення довжини дуги кривої
Нехай крива на площині задана рівнянням . Знайдемо довжину дуги цієї кривої, обмеженої прямими , (рис.7).
Рис.7. Знаходження довжини дуги
Виберемо на послідовно точки з абсцисами відповідно та проведемо хорди , , …, ,…, , довжини яких позначимо ,,…,,…,. Одержимо ламану лінію, вписану в дугу ; її довжиною є
. (2.1)
Означення 2.1.Довжиною дуги називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої частини прямує до нуля, тобто .
(Тут і надалі ми припускаємо, що така границя існує).
Теорема 2.1.Якщо на відрізку функція та її похідна неперервні, то довжина дуги кривої , обмеженої та , обчислюється згідно з формулою
. (2.2)
ÿ Як видно з рис.7, згідно з теоремою Піфагора
.
Згідно з теоремою Лагранжа маємо
, де .
Отже, . За умовою теореми функція неперервна, тому неперервною є і функція , звідки випливає, що існує скінчена границя
.n
Приклад 2.1. Обчислити довжину дуги лінії від точкидо точки.