Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Умовний екстремум функції багатьох змінних

Нехай в області D задано функцію z = f (x, у) і лінію L, яка визначається рівнянням (х, у) = 0 та лежить в цій області.

Задача полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку М (х; у), в якій значення функції f (х, у) є найбільшим або найменшим порівняно із значеннями цієї функції в інших точках лінії L. Такі точки М називають точками умовного екстремуму функції f (x, у) на лінії L. На відміну від звичайного екстремуму значення функції в точці умовного екстремуму порівнюється із значеннями цієї функції не в усіх точках області D (чи - околу точки М), а лише в точках, які лежать на лінії L.

Назва «умовний екстремум» пов'язана з тим, що змінні х та у мають додаткову умову: (х, у) = 0.

Рівняння (х, у) = 0 називається рівнянням зв'язку; якщо це рівняння можна розв'язати відносно однієї змінної, наприклад у: у = (х), то підставляючи замість у значення (х) у функцію z = f (х, у), дістаємо функцію однієї змінної z = f (х, (х)). Оскільки додаткова умова врахована, то задача знаходження умовного екстремуму зводиться до задачі на звичайний екстремум функції однієї змінної.

Проте не завжди можна розв'язати рівняння зв'язку відносно у чи х. Тоді розв'язують поставлену задачу так.

Розглянемо функцію z = f (х, у), де у=(х), як складену функцію. З необхідної умови екстремуму випливає, що в точках екстремуму

(1)

У цьому випадку означає похідну неявної функції, заданої рівнянням зв'язку (х, у) = 0:

, тому , тобто

Позначивши останні відношення через (- λ) (λ≠ 0) (знак мінус взято для зручності, а саме число λ може мати довільний знак), знайдемо, що в точці умовного екстремуму виконуються умови

, тобто

Отже, стаціонарні точки умовного екстремуму мають задовольняти систему рівнянь:

Аналізуючи цю систему, помічаємо, що знаходження умовного екстремуму функції z = f (х, у) звелось до знаходження звичайного екстремуму функції

Функція (3) називається функцією Лагранжа, а число – множником Лагранжа.

Умови (2) є лише необхідними. Вони дають змогу знайти стаціонарні точки умовного екстремуму. З теореми 2 випливає, що характер умовного екстремуму (достатні умови) можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа: якщо в стаціонарній точці >0

(< 0), то ця точка є точкою умовного мінімуму (максимуму).

Для функції U= f (х, у, z) з рівняннями зв'язку (х, у, z) = 0, (х, у, z) = 0 функція Лагранжа записується у вигляді

Стаціонарні точки умовного екстремуму знаходяться із системи рівнянь

а достатні умови існування умовного екстремуму в цих точках можна визначити за знаком диференціала .

Розглянутий метод можна поширити на дослідження умовного екстремуму функції довільного числа змінних.

Правило знаходження точок умовного екстремуму функції z = f (х, у):

1. Складаємо функцію Лагранжа:

2. Знаходимо стаціонарні точки із системи рівнянь:

3. Якщо в стаціонарній точці >0 (< 0), то в цій точці функція має умовний мінімум (максимум).

Приклад:

Знайти найбільше і найменше значення функції z=xy, якщо x та у додатні і задовольняють рівняння зв’язку

Складемо функцію Лагранжа (3):

(

Користуючись системою (2), знаходимо стаціонарні точки цієї функції:

звідки х=2, у=1, =-2.

Отже, маємо одну стаціонарну точку М(2; 1; -2 ). Щоб визначити характер умовного екстремуму в цій точці, знайдемо за допомогою формули

другий диференціал функції Лагранжа при =-2:

Знайшовши з рівняння звязку dy(2;1)= , дістанемо

<0,

тому точка (2; 1) є точкою умовного максимуму функції z=xy. При цьому z=2.

Цей результат легко перевірити, знайшовши звичайний екстремум функції:

Приклад:

Знайти умовний екстремум функції z=x+y якщо х та у задовольняють рівняння зв'язку

Складемо функцію Лагранжа:

Користуючись системою (2), знаходимо стаціонарні точки цієї функції:

Із другого рівняння маємо , із третього . Підставляючи ці значення в перше рівняння, дістанемо Звідки

Отже, маємо дві стаеціонарні точки: М(-; -), М(; ). Далі необхідно зясувати, чи є знайдені точки точками екстремуму. Для цього обчислюємо значення другого диференціала функції у цих точках, вважаючи параметром. Знаходимо частинні похідні другого порядку