• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Умовний екстремум функції багатьох змінних

Нехай в області D задано функцію z = f (x, у) і лінію L, яка визначається рівнянням (х, у) = 0 та лежить в цій області.

Задача полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку М (х; у), в якій значення функції f (х, у) є найбільшим або найменшим порівняно із значеннями цієї функції в інших точках лінії L. Такі точки М називають точками умовного екстремуму функції f (x, у) на лінії L. На відміну від звичайного екстремуму значення функ­ції в точці умовного екстремуму порівнюється із значеннями цієї функції не в усіх точках області D (чи - околу точки М), а лише в точках, які лежать на лінії L.

Назва «умовний екстремум» пов'язана з тим, що змінні х та у мають додаткову умову: (х, у) = 0.

Рівняння (х, у) = 0 називається рівнянням зв'язку; якщо це рівняння можна розв'язати відносно однієї змінної, наприклад у: у = (х), то підставляючи замість у значення (х) у функцію z = f (х, у), дістаємо функцію однієї змінної z = f (х, (х)). Оскіль­ки додаткова умова врахована, то задача знаходження умовного екс­тремуму зводиться до задачі на звичайний екстремум функції однієї змінної.

Проте не завжди можна розв'язати рівняння зв'язку відносно у чи х. Тоді розв'язують поставлену задачу так.

Розглянемо функцію z = f (х, у), де у=(х), як складену функ­цію. З необхідної умови екстремуму випливає, що в точках екстремуму

(1)

У цьому випадку означає похідну неявної функції, заданої рівнянням зв'язку (х, у) = 0:

, тому , тобто

Позначивши останні відношення через (- λ) (λ≠ 0) (знак мінус взято для зручності, а саме число λ може мати довільний знак), знайдемо, що в точці умовного екстремуму виконуються умови

, тобто

Отже, стаціонарні точки умовного екстремуму мають задовольняти систему рівнянь:

Аналізуючи цю систему, помічаємо, що знаходження умовного екстремуму функції z = f (х, у) звелось до знаходження звичайного екстремуму функції

Функція (3) називається функцією Лагранжа, а число – множ­ником Лагранжа.

Умови (2) є лише необхідними. Вони дають змогу знайти стаціо­нарні точки умовного екстремуму. З теореми 2 випливає, що характер умовного екстремуму (достатні умови) можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа: якщо в стаціонарній точці >0

(< 0), то ця точка є точкою умов­ного мінімуму (максимуму).

Для функції U= f (х, у, z) з рівняннями зв'язку (х, у, z) = 0, (х, у, z) = 0 функція Лагранжа записується у вигляді

Стаціонарні точки умовного екстремуму знаходяться із системи рівнянь

а достатні умови існування умовного екстремуму в цих точках можна визначити за знаком диференціала .

Розглянутий метод можна поширити на дослідження умовного екстремуму функції довільного числа змінних.

Правило знаходження точок умовного екстремуму функції z = f (х, у):

1. Складаємо функцію Лагранжа:

2. Знаходимо стаціонарні точки із системи рівнянь:

3. Якщо в стаціонарній точці >0 (< 0), то в цій точці функція має умовний мінімум (максимум).

Приклад:

Знайти найбільше і найменше значення функції z=xy, якщо x та у додатні і задовольняють рівняння зв’язку

Складемо функцію Лагранжа (3):

(

Користуючись системою (2), знаходимо стаціонарні точки цієї функції:

звідки х=2, у=1, =-2.

Отже, маємо одну стаціонарну точку М(2; 1; -2 ). Щоб визначити характер умовного екстремуму в цій точці, знайдемо за допомогою формули

другий диференціал функції Лагранжа при =-2:

Знайшовши з рівняння звязку dy(2;1)= , дістанемо

<0,

тому точка (2; 1) є точкою умовного максимуму функції z=xy. При цьому z=2.

Цей результат легко перевірити, знайшовши звичайний екстремум функції:

Приклад:

Знайти умовний екстремум функції z=x+y якщо х та у задовольняють рівняння зв'язку

Складемо функцію Лагранжа:

Користуючись системою (2), знаходимо стаціонарні точки цієї функції:

Із другого рівняння маємо , із третього . Підставляючи ці значення в перше рівняння, дістанемо Звідки

Отже, маємо дві стаеціонарні точки: М(-; -), М(; ). Далі необхідно зясувати, чи є знайдені точки точками екстремуму. Для цього обчислюємо значення другого диференціала функції у цих точках, вважаючи параметром. Знаходимо частинні похідні другого порядку

та диференціал другого порядку

при маємо >0, то в т. М(-; -) маємо умовний мінімум: z (-; -) = --= - .

При <0, то в т. М(; ) маємо умовний максимум: z (; ) = + = .

Відповідь: z= -,

z= .

Приклад:

Знайти умовний екстремум функції z=xy, якщо х та у задовольняють рівняння звчязку 4х-3у=12.

знаходимо стаціонарні точки:

тоді 12+12=12; 24=12; =

х=1,5; у=-2; z=-3.

Точка (1,5; -2; -3) – стаціонарна точка.

Знайдемо із рівняння звязку: , тоді

>0, тоді т.(1,5; -2; -3) є точкою умовного мінімуму функції z=xy.

z= -3.

Читайте також:

1. Cинтаксис опису змінних
2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
6. АНОДНИХ ТА ЗНАКОЗМІННИХ ЗОН
7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
8. Асимптоти графіка функції
9. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
10. Базові функції, логічні функції
11. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
12. Банківська система та її основні функції

Переглядів: 10937