Лекція 6 Неперервні випадкові величини та їх розподіли

ОзначенняВипадкова величина Х називається неперервною, якщо неперервною є її інтегральна функція

ОзначенняЩільністю розподілу (диференціальною функцією) випадкової величини в даній точці називається границя відношення ймовірності того, що випадкова величина належатиме інтервалу, який містить дану точку, до довжини цього інтервалу за умови, що інтервал стягується до даної точки, тобто

Властивості f (x)

1. f (x ) = F′ (x).

Справді,

2. f ( x ) ≥ 0 ( оскільки f (x ) = F′ (x), F ( x ) - неспадна ).

3. Р ( х₁ ≤ Х < х₂) =

Справді, Р ( х₁ ≤ Х < х₂) = F (x₂) - F ( x₁ ) = .

4. F (x ) =

Справді, F ( x ) = P ( X < x ) = P ( -

5. . Справді, 1 = Р (

ОзначенняВипадкова величина Х називається рівномірно розподіленою, якщо її щільність стала.

1. Нехай значення рівномірно розподіленої випадкової величини зосереджені на [ a, b ]. Користуючись властивостями щільності розподілу, маємо , тобто .

Звідси с = 1 / (b – a). Отже, щільність розподілу має вигляд

2. Інтегральна функція розподілу має вигляд

Рівномірний розподіл часто використовують тоді, коли тільки відомо, що величина набуває значень на певному інтервалі, але нічого не відомо про характер розподілу величини. Вважаючи, що вона розподілена рівномірно, допускаємо похибку, найменшу з можливих.

ОзначенняВипадкова величина Х називається розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність розподілу має вигляд

Інтегральна функція розподілу має вигляд

Ймовірність того, що величина Х належатиме інтервалу [α ,β] за умов даного розподілу, дорівнює

P ( α ≤ x ≤ β ) =

Експоненціальний закон широко застосовують у теорії надійності.

Нехай Т - тривалість безвідказної роботи пристрою. Функція розподілу випадкової величини Т виражає ймовірність відказу за час t:

Протилежна їй функція надійності

R ( t ) = 1 - F ( t) = P ( t ≤ T ) = e ^-λt

визначає ймовірність безвідказної роботи пристрою за час t.

Тут λ – інтенсивність відказів.

ОзначенняВипадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами a і σ > 0, якщо її щільність має вигляд

Якщо Х має нормальний розподіл, то будемо коротко позначати це, як

Х ~ N ( α ,σ ).

Знайдемо вираз функції розподілу для Х ~ N (α ,σ ).

F (x ) = = . Зробимо заміну :

у = (z- α)/σ, тоді dy = і далі

F (x ) = = Ф( ), де

Ф( ) – функція Лапласа з аргументом , таблиця якої відома.

Ймовірність того, що випадкова величина Х – N (α ,σ ) набуде значення, яке належить інтервалу (х₁, х₂), дорівнює

P{x₁

Ймовірність того, що Х ~ N ( a ,σ ) набуде значення, які відповідають умові

З цієї формули виходить дуже важливий наслідок :

якщо Е =3σ , то P{ <3σ} =2Ф(3) = 0,9973;

Це означає, що практично все розсіяння нормально розподіленої випадкової величини вкладається в інтервал α ±3σ (правило трьох сигм). Ймовірність того, що Х набуде значень за межами цього інтервалу, настільки мала (0, 0027),що таку подію можна вважати практично неможливою.

Нормальний закон розподілу зустрічається найчастіше. За цим законом розподілені точність вимірювання практично всіх фізичних величин, параметри технологічних режимів, багато біологічних, демографічних та економічних покажчиків і т.д. Аналіз загальних умов формування нормального розподілу показує, що найважливішим фактором є формування величини як суми великої кількості взаємно незалежних складників, жоден з яких не має набагато більшої, ніж інші, дисперсії. Такі умови часто мають місце у виробничих, економічних, демографічних та інших процесах. Як буде показано далі, нормальний закон є граничним законом, до якого наближаються інші види розподілу.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Домашнє завдання	\|	Властивості математичного сподівання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.