• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення оптимальних параметрів системи.

Рис.6.17. До визначення запасу стійкості.

Рис.6.14.Область стійкості АСР

Рис.6.12. Частотні характеристики

Рис.6.7.Частотні характеристики

АСР з І-регулятором.

- для системи з ПІ-регулятором (рис.6.8) :

(6.31)

Рис.6.8. Частотні характеристики системи з ПІ-регулятором.

Побудова W_роз(jω) виконується так :

- на АФХ об’єкта обирається кілька точок з частотами ω₁,ω₂,ω₃,ω₄... з відповідними векторами ОА₁, ОА₂, ОА₃, ОА₄...;

- до кожного вектора проводиться перпендикуляр;

- на кожному перпендикулярі відкладаються відрізки і отримують W_роз(jω) при К_рег=1;

- домножається кожний вектор на потрібний К_рег. Крім того, отримують сімейство W_роз(jω) при різних значеннях Т_і.

Необхідно відзначити, що W_роз(jω) безрозмірна. Дійсно, при ω=0 W_роз(jω)=К_регК_ок.

Маючи W_роз(jω), можна побудувати частотні характеристики замкненої системи :

- відносно зміни завдання (рис.6.9). Для цього використовується вираз: (6.32)

Рис.6.9.Частотні характеристики АСР: а) розімкненої, б) замкненої, відносно зміни завдання.

В чисельнику виразу (6.32) – вектор АФХ розімкненої системи, а в знаменнику – суми векторів : Z₁=W_роз(jω); Z₂=1+і0. Тоді значення W_зд(jω_і) на певній частоті ω_і знаходиться як результат ділення двох векторів, причому АЧХ :

(6.33)

а ФЧХ :

- відносно збурення (рис.6.10). Для отримання частотної характеристики замкненої системи використовують вираз :

(6.34)

Для побудови графіка АФХ замкненої АСР необхідно поділити вектор АФХ об’єкта за каналом збурення на вектор проведений з точки В (-1,j₀).

Рис.6.10.Частотні характеристики АСР, а) – розімкненої та об’єкта,

б) замкненої, відносно збурення.

Тоді АЧХ буде :

(6.35)

а ФЧХ : (6.36)

Необхідно відзначити, що значення вектора на різних годографах беруться на одинаковій частоті ω_і.

Однією із задач дослідження АСР є визначення умов її знаходження на межі стійкості, що відповідає критичним значенням настройок регулятора. Для системи з П-регулятором (рис.6.11) умовою знаходження АСР на межі стійкості є :

R^крит * К^крит_рег=1 (6.37)

де : R_крит – значення вектора АФХ об’єкта ; К^крит_рег – критичне значення коефіцієнта передачі регулятора. Ці значення оцінюються на частоті ω_π. Тоді :

(6.38)

Рис.6.11. Частотні характеристики АСР з П-регулятором.

Для систем з І-регулятором (рис.6.12) необхідно враховувати, що кожен вектор АФХ об’єкта повертається на -90⁰, а довжина змінюється в разів.

Тоді значення знаходять

з виразу :

(6.39)

(6.40)

АСР з І-регулятором.

Цей вираз ще раз показує, що І-регулятор може працювати лише з об’єктом із самовирівнюванням. Якщо об’єкт астатичний, то АФХ системи буде охоплювати точку з координатами (–1;j₀) при будь-якому значенні , тому що мінімальний зсув фаз в такій системі при частоті ω=0 буде –180⁰.

Для системи з ПІ-регулятором будується сімейство АФХ розімкненої системи (рис.6.8) при К_рег = 1 та різних значеннях Т_і. З виразу (6.37) визначається критичне значення К^крит_рег. В цьому випадку R^крит – відрізки, які відсікаються на дійсні від’ємні напівосі сімейства АФХ W_роз(jω). За цими даними будують область стійкості (рис.6.13).

Рис.6.13. Область стійкості АСР з ПІ-регулятором.

Для ПІД-регуляторів на площині параметрів настройки К_рег – Т_і будують сімейство кривих для різних значень відношення Т_д/Т_і=const (рис.6.14).

Т_д/Т_і=const

з ПІ-регулятором.

Якщо частотні характеристики об’єкта задані аналітичними виразами,то при відомих АФХ регуляторів умовою знаходження АСР на межі стійкості є вираз :

(6.41)

який розпадається на два :

(6.42)

Амплітудно-фазові характеристики об’єкта і регулятора записують в такій формі :

(6.43)

(6.44)

Тоді настройки регулятора з урахуванням (6.42) можна знайти в явному вигляді :

(6.45)

(6.46)

де : К_ок – коефіцієнт передачі об’єкта по каналу керування, Т₁,Т_2... – постійні часу об’єкта, τ_зп – час запізнювання.

Користуючись частотними характеристиках, можна отримати також параметри системи, які забезпечують заданий запас стійкості за модулями і фазою (рис.6.15).

Рис.6.15. Визначення запасу стійкості АСР.

Якщо на фазовій площині нанести коло радіусом r=1, то можна визначити :

- запас стійкості по модулю С, який показує, на скільки повинен змінитись модуль W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості;

- запас стійкості по фазі – кут g, який показує, на скільки повинен змінитись зсув по фазі в розімкненій системі при існуючому модулі W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості.Запас стійкості безпосередньо зв’язаний з величиною максимума АЧХ замкненої системи (рис.6.16) відносно зміни завдання :

(6.47)

Рис.6.16. АЧХ замкненої сисеми.

В залежності від розташування W_роз(jω) на комплексній площині змінюється вид АЧХ. При ω=0 W_роз(jω)→∞, ОА=ВА, А_зд(0)=1. При збільшенні частоти т.А переміщується угору, тоді можливі такі випадки:

- якщо W_роз(jω) знаходиться достатньо далеко від точки В(-1; j₀), то відрізок ВА буде завжди більшим відрізка ОА. При ω→∞ ВА=1, ОА→0, А_зд(ω) →0 (рис.6.16, крива 1);

- якщо W_роз(jω) проходить достатньо близько від т.В(-1; j₀), то відрізок ВА при низьких частотах <ОА, тому в діапазоні частот [ω=0, w_рез] А_зд(ω) зростає до максимуму. При ω→∞ ОА→0, ВА=1, А_зд(ω) →0 (рис.6.16,крива 2).Чим ближче W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим більший максимум А_зд(ω);

- якщо W_роз(jω) проходить через точку В(-1; j₀), то max А_зд(ω) →∞, ВА→0 (крива 3,рис.6.16).

Таким чином, чим більший max А_зд(ω), тим ближче годограф W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим менший запас стійкості. Для забезпечення необхідного запасу стійкості W_роз(jω) повинна розташовуватись на певній відстані від точки В(-1; j₀), тобто не повинно перевищуватись деяке значення відношення :

(6.48)

де : М – показник коливальності

(6.49)

Таким чином, для того, щоб max А_зд(ω) не перевищував деякої заданої наперед величини, W_зд(jω) не повинна заходити в область, обмежену колом радіусом r (рис.6.17) :

(6.50)

центр якого розташований на відстані :

(6.51)

Для технічних систем приймається М =1,1 ÷ 1,6. Існує однозначний зв’язок між показником коливальності М, степенем затухання Ψ, запасом по модулю С і фазі g :

Ψ = 0,7 0,8 0,9

М = 2,7 2,09 1,55 (6.52)

С = 0,28 0,33 0,44

g = 21⁰ 28⁰ 45⁰

Виходячи з наведених міркувань, розроблено методику визначення параметрів системи, які забезпечують заданий запас стійкості. Для цього :

- наноситься коло, яке відповідає показнику коливань М ;

- змінюючи параметри настройки регулятора, добиваються, щоб W_роз(jω) була дотичною до цього кола;

- приймаючи певне значення М, наприклад, М=1,62 (Ψ ≈ 0,85÷0,9), визначають: (6.53)

Рис.6.18. Область заданого запасу стійкост АСР.

Однією з центральних задач прикладної теорії автоматичного керування є визначення оптимальних параметрів, зокрема значень настройок регуляторів. Для цього використовуються різні методи : аналітичні, графо-аналітичні та за наближеними залежностями.

При одинаковій коливальності перехідні процеси в АСР можуть мати різну тривалість, статичну та динамічну похибку і інш. В умовах непередбачуваних збурень необхідно забезпечити задану якість перехідних процесів. Оптимальними настройками регуляторів будуть такі, які забезпечують досягнення найкращих результатів в конкретній ситуації при існуючих ресурсах та обмеженнях у відповідності до обраного критерія. Можна записати таку залежність :

А^*=argextr I,

U є Ω_u (6.54)

де : А^* - вектор оптимальних значень параметрів настройок регулятора (К_рег, Т_і, Т_д); І – критерій оптимальності; U – сигнал керування. В задачах знаходження оптимальних значень параметрів настройок регуляторів використовуються також математичні моделі об’єкта та формуються обмеження на координати стану Х, вихідні змінні У та збурення Z.

Загальний критерій оптимальності для АСР формується так : система повинна найкраще (найбільш точно) відпрацьовувати корисні сигнали, в першу чергу вектор сигналу завдання Х_зд та компенсувати або принаймні зменшувати дію збурення Z. При цьому необхідно враховувати, що зовнішні сигнали мають різні частотні спектри, а складові гармоніки при проходженні через систему змінюються за амплітудою та фазою.

Абсолютна фільтрація (компенсація) збурень забезпечується, коли АЧХ системи відносно збурення дорівнює нулю у діапазоні частот від ω=0 до ω→∞, тобто :

(6.55)

Вимога точного відтворення Х_зд потребує, щоб :

(6.56)

В реальних системах залежності (6.55) та (6.56) не можуть виконуватись точно, тому оптимальними параметрами настройок вважаються такі, які забезпечують максимальне наближення АЧХ реальної системи до характеристик ідеальної. Крім того, оптимізацію настройок неможливо забезпечити у всьому діапазоні частот, а для інерційних технологічних об’єктів найбільш “небезпечними” є низькі частоти.

Одним з методів отримання значень оптимальних настройок регуляторів є введення поняття фільтра для збурення Z (рис.6.19) та перенесення його на вхід системи. Виходячи з еквівалентності структур, які відповідають рис.6.19,а та 6.19,б можна записати :

Рис.6.19. Структура одноконтурної АСР а) стандартної; б) з фільтром для збурення .

Для схеми а) :

Х(р) = W_зд(р)Х_зд(р) + W_збур(p)Z(p) (6.57)

Для схеми б) :

Х(р) = W_зд(p)X_зд(p) + W_зд(p)W_ф(p)Z(p) (6.58)

Порівнюючи праві частини виразів (6.57) та (6.58), знаходимо необхідну передаточну функцію W_ф(р) :

(6.59)

Якщо властивості об’єкта залишаються постійними, то настройки регулятора оптимізуються так, щоб АЧХ фільтра і її похідні дорівнювали нулю, тобто :

(6.60)

Якщо об’єкт статичний, то при ω→0 W_озб(0)=K_озб, W_ок(0)=К_ок. Для системи з П-регулятором вираз (6.59) прийме вид :

(6.61)

Таким чином, в околі точки ω=0 АЧХ фільтра буде наближатись до нуля, коли К_рег→∞. Висновок про підвищення точності системи при збільшенні значення К_рег вже був зроблений в попередніх розділах, але завжди існує обмеження : при К_рег = К^крит_рег система виходить на межу стійкості, а при К_рег > К^крит_рег стійкість втрачається.

Для системи з ПІ-регулятором АЧХ фільтра має вигляд :

(6.62)

При ω=0 цей вираз також дорівнює нулю, тобто відсутня статична похибка. Перша похідна від (6.62) має вид :

(6.63)

/При ω=0 вираз (6.63) набуває виду :

(6.64)

Таким чином, в цьому випадку необхідно щоб відношення було максимальним. На площині параметрів настройки ПІ-регулятора це відповідає т.А (рис.6.20), яку отримують за допомогою дотичної до лінії межі області заданого запасу стійкості.

Рис.6.20.Визначення оптимальних настройок ПІ-регулятора.

Параметри настройок ПІ-регулятора, які відповідають т.А, будуть оптимальними і відрізняються від інших лише тим, що саме ці настройки забезпечують максимальне зменшення збурення і точне відтворення Х_зд.

Для розрахунку оптимальних настройок автоматичних регуляторів використовуються також розширені частотні характеристики (РЧХ). На відміну від звичайних при отриманні РЧХ вхідний сигнал має вигляд:

(6.65)

або в показниковій формі :

(6.66)

де : m – постійний параметр.

Як видно з виразів (6.65), (6.66) амплітуда коливань U_maxe^-mωt зменшується і викликані цим сигналом змушені коливання будуть мати такі ж значення частот і степені затухання, але відрізнятись за амплітудою і фазою :

(6.67)

(6.68)

Тоді розширена частотна характеристика буде мати вигляд :

(6.69)

Для визначення РЧХ в передаточну функцію необхідно підставити р=(j-m)ω. При m=0 це відповідає звичайним (нормальним) частотним характеристикам (рис.6.21).

Для годографа 1 m=0,ψ=0;

для РЧХ 2 : m=0,221 (ψ=0,75);

для 3 : m=0,366 (ψ = 0,9).

Рис.6.21.Звичайна та розширені

частотні характеристики.

Методика розрахунку настройок регулятора по аналогії з критерієм стійкості Найквіста базується на твердженні : якщо розімкнена система має ступінь коливальності не нижче заданого, то замкнена система буде мати такі ж показники тоді, коли РЧХ розімкненої системи пройде через точку з координатами -1; j_0.

Розрахунок виконують в такій послідовності :

- визначають параметри регулятора, при яких система має запас стійкості не нижче заданого;

Читайте також:

1. I визначення впливу окремих факторів
2. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
3. II. Визначення мети запровадження конкретної ВЕЗ з ураху­ванням її виду.
4. II. Мотивація навчальної діяльності. Визначення теми і мети уроку
5. Ocнoвнi визначення здоров'я
6. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
7. Аналіз службового призначення деталей та конструктивних елементів обладнання харчових виробництві, визначення технічних вимог і норм точності при їх виготовленні
8. Аналіз стратегічних альтернатив та визначення оптимальної стратегії формування фінансових ресурсів
9. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
10. Балансова теорія визначення статі. Диференціація статі і роль гормонів у цьому процесі.
11. Безстатеве розмноження, його визначення та загальна характеристика. Спори — клітини безстатевого розмноження, способи утворення і типи спор.
12. Біостратиграфічні методи визначення віку порід

Переглядів: 2131