Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Базис. Розклад вектора по даному базису

Введемо поняття лінійної комбінації, лінійної залежності, а також базису і розклад вектора по базису.

→

Означення1. Вектор b називається лінійною комбінацією

→ → →

векторів a 1 , a 2 ,...,a_m векторного простору R^m , якщо він дорівнює сумі добутків цих векторів на довільні дійсні числа

→	→	→
b = k₁ a 1	+ k₂ a ₂	+ ... + k_m a_m	(2.25)

де k₁ ,k₂ ,...,k_m - дійсні числа.

Означення2. Вектори	→→	→	називаються лінійно
a 1 , a 2 ,...,a_m
залежними, якщо існують такі числа	k₁ ,k₂ ,...,k_m ,які не
дорівнюють одночасно нулю, що
→	→	→
k₁ a 1	+ k₂ a ₂ + ...+ k_m a_m	= 0	(2.26)

→ → →

Означення3. Вектори a 1 , a 2 ,...,a_m називаються лінійно не-

залежними, якщо для них виконується умова (2.26) тільки тоді, коли одночасно k₁ ,k₂ ,...,k_m дорівнюють нулю.

Розглянемо деякі властивості векторів лінійного простору. Властивість 1. Якщо система векторів складається із одного

→

ненульового вектора a , то така система лінійно незалежна.

Дійсно, рівність	→	→	тільки	тоді, коли
k a	= 0 можлива тоді і
k = 0.
Зауваження. Якщо система векторів складається із одного
→
нульового вектора a , то ця система лінійно залежна.
	→	→
Дійсно, рівність k a = 0 має місце коли k ≠ 0.
Властивість 2			→→	→
.Для	того, щоб вектори	a 1 , a 2 ,...,a_m були

лінійно залежними необхідно і достатньо, щоб хоч один із них був лінійною комбінацією решти векторів.

Доведення. Необхідність.

Нехай вектори лінійно залежні. Тоді для них виконується

умова (2.26), де хоч одне із чисел k₁,k₂,...,k_m

не дорівнює нулю.

Для прикладу, нехай це буде число k_m ≠ 0 . Тоді

→

m − 1

→

a m =−

a 1 −

a 2 − ...−

a m − 1

(2.27)

k_m

Необхідна умова доведена.

Достатність.Нехай виконується умова(2.27),яку перепише-

→

мо

так

α₁ a 1 +α ₂ a ₂ + ...+α _m ₋ ₁ a_m ₋ ₁ − a m = 0 ,

де

^α i

= −

k_i

( i = 1,2,...,m − 1 )

k_m

Ми

одержали

рівність

вигляду

(2.26), в

якій

одне

число

α _m =−1 ≠ 0. Значить вектори є лінійно залежні.

Властивість 3. Якщо серед векторів

→

є нульовий

a 1 , a 2 ,...,a_m

вектор, то ці вектори є лінійно залежні.

→

= 0 ,то тоді маємо рівність(2.26)

Дійсно, нехай a1

→	→		→
k₁ a 1	+ 0 a ₂	+ ...	+ 0 a m = 0 , коли k₁	= 1, k₂	= k₃ = ... = k_m	= 0 .

Властивість 4. Для того,щоб два вектори були лінійно за-лежними необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.

→

Доведення.Необхідність. Нехай два векториaіbє лінійно

→

залежними, тоді виконується рівність k₁a + k₂b = 0 , де хоч би одне із чисел k₁ або k₂ не дорівнює нулю.

→

Нехай k₁ ≠ 0 ,

тоді a = −

b , тобто

вектори

a і

b є

k₁

колінеарними.

→

Достатність. Нехай вектори a і b колінеарні,тобто

→

= 0 .

=λ b або a + ( −λ ) b

→

Значить вектори a і b є лінійно залежні.

Властивість 5.

Вектори

→

n -мірного

простору

a 1 , a 2 ,...,a_n

лінійно незалежні, якщо визначник складений із координат цих векторів, відмінний від нуля.

Доведення.Нехай вектори задані своїми координатами

→

a 1

= ( a₁₁ ,a₁₂ ,...,a_1n ) , a 2 = ( a₂₁ ,a₂₂ ,...,a_2n ) ,…. a n = ( a_n1 ,a_n2 ,...,a_nn )

Для цих векторів запишемо рівність

→

k₁ a 1

+ k₂ a ₂ + ...+ k_n a n

= 0 , або

k₁ ( a₁₁ ,...,a_1n ) + k₂ ( a₂₁ ,...a_2n ) + ...+ k_n ( a_n1 ,...a_{nn )} = ( 0 ,0 ,...,0 ).

З цієї рівності одержуємо однорідну систему рівнянь для зна-

k₁a₁₁

+ k₂a₂₁

+ ...+ k_na_n1

= 0

ходження k₁,k₂,...,k_n

+ k

+ ...+ k

= 0

: ¹

..............................................

k₁a_1n

+ k₂a_2n

+ ...+ k_na_nn

= 0

Тому що за умовою визначник , складений із коефіцієнтів цієї однорідної системи відмінний від нуля, то ця система має єдиний нульовий розв’язок, тобто k₁ = 0 ,k₂ = 0 ,...,k_n = 0. А це значить, що

→ → →

вектори a1, a2,...,a_n лінійно незалежні.

Наслідок 1. Якщо вектори лінійно залежні,то визначник,складений із координат цих векторів, дорівнює нулю.

→ →

Наслідок 2. Одиничні вектори(орти)e1, e2,...,e_nn-мірногопростору лінійно незалежні.

Означення4. Лінійний простір Rⁿ називається n - мірним, якщо в ньому є n лінійно незалежних векторів, а довільні ( n + 1 )

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Скалярний добуток двох векторів	\|	Вектори є уже лінійно залежні.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.013 сек.