Нехай положення прямої на площині визначається двома величинами (параметрами прямої) : довжиною і напрямком перпендикуляра ОР, опущеного із початку координат на пряму і ве-личиною кута α , який утворює даний перпендикуляр з віссю Ox
(мал.42).
На прямій l візьмемо довільну точку M ( x , y ) . Позначимо
довжину перпендикуляра через p,а
у
→
орт нормалі через n . Проекція раді-
→
→
ус-вектора r
= OM на нормаль буде
завжди рівною p .
Таким чином, пряма l визна-
чається як геометричне місце точок
О
площини, проекції радіус-векторів
яких на нормаль дорівнює сталій ве-
личині p .
На основі скалярного добутку маємо
→
→
→
Пр→ r
= r
⋅ n ,
n
→
→
= p .
r
⋅ n
М(х,у)
P
х
l Мал.42
(2.62)
Рівняння (2.62) є нормальним рівнянням прямої у векторній формі.
→
= 1 ,координати
→
Тому що
n
n = (cos α , sin α ) ,вектор
→
OM = ( x , y ), то в координатній формі рівняння(2.62)буде мати ви-гляд
x cos α+ y sin α − p = 0 .
(2.63)
Якщо пряма лінія задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0,
то це рівняння можна звести до нормального рівняння прямої (2.63).Помножимо загальне рівняння прямої на деякий множник μ
μAx +μBy +μC = 0 ,
(2.64)
Одержане рівняння і загальне рівняння прямої рівносильні. Щоб рівняння (2.64) було нормальним, тобто мало вигляд (2.63) по-трібно, щоб виконувалися рівності
μA = cos α ,
(2.65)
μB = sin α ,
=− p.
μC
Перші дві рівності в (2.65) піднесемо до квадрату і додамо.
Тоді одержимо, що
μ =
,
(2.66)
± A2
+ B2
μназивається нормувальним множником.
Третя рівність (2.65) встановлює знак множника μ , а саме знак μ є протилежним знакові вільного члена C .
Приклад 4.Привести до нормального вигляду рівняння
4 x − 3 y − 7 = 0.
Розв’язування. Знаходимо нормувальний множник
μ =
=
.
+
4 2 + ( −3 )2
(вибираємо знак плюс, так як C = −7 < 0 ).
Помноживши на
дане рівняння, одержимо
4 x −3 y −7 = 0.
5 5 5
Одержане рівняння і є нормальним рівнянням прямої. В цьому