Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Похідні вищих порядків

 

Похідна функції у=f(x) є також функцією: у′=f′(x).

 

Ця функція також може мати похідну. Ця нова похідна нази-вається другою похідною функції у=f(x) або похідною функції f(x)

 

другого порядку і позначаться y'' = f '' ( x ) або d2y . dx2

Похідна другої похідної, тобто функції y'' = f '' ( x ) назива-ється третьою похідною або похідною третього порядку і познача-

ється символом y''' = f ''' ( x ) або   d 3 y . Так можна ввести похідні  
  dx3  
         
четвертого, п’ятого і взагалі n – го порядку, які позначають  

yIV , yV ,..., y( n ) .

 

Приклад 1.Знайти похідну четвертого порядку функціїy = x4 5 x3 + 2 x 1 .

 

Розв’язування. Маємоy'=4 x315 x2+2;y'' = 12 x2 30 x;

 

y''' = 24 x 30; yIV = 24.

 

Приклад 2.Знайти похідніn-го порядку від функцій:

 

а) y = ex , б) y = sin x , в) y = cos x .

Розв’язування.

 

а) y′=ex,y′′=ex,…,y( n )=ex;

б) y′ = cos x = sin( x + π );

y′′=− sin x = sin( x + 2π );

y′′′=− cos x = sin( x + 3π );

yIV = sin x = sin( x + 4π )

і по індукції y( n ) = sin( x + π n ).


 


в)аналогічно знаходимо y( n ) = cos( n ) x = cos( x +π n ) .    
               
        §11. Диференціал функції    
11.1 Означення диференціала точці х похідну    
Якщо функція y = f ( x ) має в , то  
f ' ( x ) = lim   y   і приріст функції y можна подати у вигляді    
  x    
x→0 y = f ' ( x ) x +α      
        x , (4.3)  
де α - нескінченно мала величина, яка прямує до нуля разом з x .  
В формулі (4.3) другий доданок α x є нескінченно мала ви-  
щого порядку, ніж x і тому головну частину суми складає перший  
доданок f ' ( x ) x ,який має назву диференціала функції.    

 

Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної назива-ється диференціалом функції f ( x ) .

 

Позначається диференціал символом dy або df ( x ) . Отже,

 

    dy = f ' ( x ) x (4.4)  
Приріст x незалежної змінної також позначають так :  
x = dx .           y = x диференціал  
Це пояснюють тим, що для функції  
dy = x' x = x .Тому рівність(4.4)записують dy = f ' ( x )dx .  
Приклад1.Знайти диференціал функціїy=1+ln x.  
Розв’язування. dy = ( 1 + ln x )' dx = dx .    
     
        x    
Приклад 2.Знайти диференціал функціїy=sin32x.  
Розв’язування. Обчислимо спочатку похідну y′,  
використавши правило диференціювання складної функції  

y′= 3 sin2 2 x(sin 2 x )′= 3 sin2 2 x cos 2 x( 2 x )′= 6 sin2 2 x cos 2 x.Отже, dy = 6 sin2 2 x cos 2 xdx.

 


Читайте також:

  1. Визначники малих порядків
  2. Вищих навчальних закладів
  3. Вищих навчальних закладів
  4. Диференціали вищих порядків.
  5. З «Записки про Берлінську нараду від 6 лютого 1918 р.» вищих урядовців Німеччини і Австро-Угорщини щодо переговорів у Бресті-Литовському
  6. Загальна характеристика вищих рослин.
  7. Загальна характеристика професійної діяльності психолога у спорті вищих досягнень.
  8. Історія розвитку методу культури клітин вищих рослин
  9. Консерватизм - ідеологія, орієнтована на збереження (консервацію) традиційних громадських порядків або їх реставрацію, якщо вони виявилися такими, що руйнують.
  10. Нескінченні похідні
  11. Односторонні похідні
  12. Означення 5.5. Якщо існують похідні , то матриця




Переглядів: 2740

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Приклади на використання таблиці похідних | Геометричний зміст диференціала

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.015 сек.