Похідні вищих порядків

Похідна функції у=f(x) є також функцією: у′=f′(x).

Ця функція також може мати похідну. Ця нова похідна нази-вається другою похідною функції у=f(x) або похідною функції f(x)

другого порядку і позначаться y'' = f '' ( x ) або ^d²^y . dx²

Похідна другої похідної, тобто функції y'' = f '' ( x ) назива-ється третьою похідною або похідною третього порядку і познача-

ється символом y''' = f ''' ( x ) або		d ³ y	.	Так можна ввести похідні
	dx³

четвертого, п’ятого і взагалі n	– го	порядку, які позначають

y^IV , y^V ,..., y^{( n )} .

Приклад 1.Знайти похідну четвертого порядку функціїy = x⁴ − 5 x³ + 2 x − 1 .

Розв’язування. Маємоy'=4 x³−15 x²+2;y'' = 12 x² − 30 x;

y''' = 24 x − 30; y^IV = 24.

Приклад 2.Знайти похідніn-го порядку від функцій:

а) y = e^x , б) y = sin x , в) y = cos x .

Розв’язування.

а) y′=e^x,y′′=e^x,…,y^{( n )}=e^x;

б) y′ = cos x = sin( x + ^π );

y′′=− sin x = sin( x + 2 ⋅^π );

y′′′=− cos x = sin( x + 3 ⋅^π );

y^IV = sin x = sin( x + 4 ⋅^π )

і по індукції y^{( n )} = sin( x + ^π n ).

в)аналогічно знаходимо y^{( n )}	= cos^{( n )} x = cos( x +^π n ) .

			§11. Диференціал функції
11.1 Означення диференціала	точці х похідну
Якщо функція y = f ( x ) має в	, то
f ' ( x ) = lim		y	і приріст функції	y можна подати у вигляді
	x
x→0	y = f ' ( x )	x +α
			x ,	(4.3)
де α - нескінченно мала величина, яка прямує до нуля разом з	x .
В формулі (4.3) другий доданок α x є нескінченно мала ви-
щого порядку, ніж	x і тому головну частину суми складає перший
доданок f ' ( x )	x ,який має назву диференціала функції.

Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної назива-ється диференціалом функції f ( x ) .

Позначається диференціал символом dy або df ( x ) . Отже,

		dy = f ' ( x )	x	(4.4)
Приріст	x незалежної змінної	також	позначають так :
x = dx .					y = x диференціал
Це пояснюють	тим, що для функції
dy = x' x = x .Тому рівність(4.4)записують dy = f ' ( x )dx .
Приклад1.Знайти диференціал функціїy=1+ln x.
Розв’язування.	dy = ( 1 + ln x )' dx =		dx .

				x
Приклад 2.Знайти диференціал функціїy=sin³2x.
Розв’язування. Обчислимо спочатку похідну y′,
використавши	правило диференціювання	складної функції

y′= 3 sin² 2 x(sin 2 x )′= 3 sin² 2 x cos 2 x( 2 x )′= 6 sin² 2 x cos 2 x.Отже, dy = 6 sin² 2 x cos 2 xdx.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклади на використання таблиці похідних	\|	Геометричний зміст диференціала

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.028 сек.