• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Функція. Частинні похідні. Диференціал

Нехай – деяка множина точок n-вимірного евклідового простору .

Визначення 4.1. Якщо кожній точці відповідає за певним законом одне і тільки одне дійсне число , то кажуть, що на множині визначена функція від n змінних і записують або .

Припустимо, що функція , визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки .

Визначення 4.2. Число називають границею функції в точці , якщо для довільного існує , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Визначення 4.3. Функцію називають неперервною в точці , якщо для довільного існує таке , що для всіх точок таких, що виконується нерівність .

Розглянемо функцію визначену в деякому околі точки . Частинна похідна цієї функції по змінній в точці обчислюється за формулою

, (4.1)

де і називається частинною похідною першого порядку.

При знаходженні частинних похідних використовуємо правила і формули диференціювання функції одної змінної, причому, якщо беремо похідну по змінній , то всі інші змінні вважаємо константами.

Приклад 4.1. Знайти частинні похідні функції .

Розв’язок.

Визначення 4.4. Функцію , , визначену в околі точки , називають диференційованою в цій точці, якщо повний приріст функції в цій точці можна подати у вигляді

,

де , , –деякі числа.

Для функції , , диференційованої в точці , формула для обчислення повного диференціалу має вигляд

. (4.2)

Приклад 4.2. Обчислити значення повного диференціала функції в точці .

Розв’язок. Скориставшись розв’язком прикладу 4.1, обчислимо значення частинних похідних в точці .

, , .

Підставивши їх в (4.2), отримаємо

.

Нехай функції , , ..., диференційовані в точці , а функція диференційована в точці , де . Тоді складна функція диференційована в точці і її частинні похідні в цій точці знаходяться за формулою

(4.3)

Диференціал функції в точці також має вигляд (4.2), але тепер є не приростами змінних , а диференціалами функцій в точці , тобто

.

Нехай функція визначена в області , а функції , визначені на інтервалі . Тоді з формули (4.3) для довільних точок та отримаємо

.

Диференціал складної функції обчислюється за формулою

.

Розглянемо складніший випадок, коли функція визначена в області , а функції визначені в області . Якщо точка належить області , то відповідна точка належить області . Тоді можна розглядати складну функцію , визначену в області і для неї

, ,

а диференціал.

.

Нехай функція має частинну похідну в кожній точці деякого околу точки . Якщо має в точці частинну похідну по аргументу , то ця похідна називається частинною похідною другого порядку функції по аргументу та в точці і позначається . Якщо , то частинна похідна другого порядку називається змішаною. При маємо .

Частинні похідні третього порядку означаються як частинні похідні від частинних похідних другого порядку і т.д.

Диференціал другого порядку функції в точці визначається як диференціал в точці від першого диференціала при наступних умовах:

) розглядається як функція тільки незалежних змінних і ;

) при обчисленні диференціалів від і прирости незалежних змінних і дорівнюють і .

На основі вищесказаного отримуємо формулу

.

Диференціал довільного -го порядку функції визначається за формулою .

У випадку функцій незалежних змінних при умовах, аналогічних до умов і , справедлива формула

.

Читайте також:

1. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
2. Геометричний зміст диференціала
3. Головна передача, диференціал, півосі (приводні вали) і маточини ведучих коліс
4. Гомеостатична функція.
5. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
6. Двофакторна виробнича функція.
7. Диференціал функції
8. Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень
9. Диференціал функції.
10. Диференціали вищих порядків.
11. Диференціальна діагностика.
12. Диференціальна діагностика.

Переглядів: 727