• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Межі числових множин

Нехай задано непорожню числову множину .

Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність

При цьому числа і називаються відповідно верхньою та нижньою межею множини.

Множина, яка обмежена зверху й знизу, називається обмеженою.

Очевидно, що будь-яка обмежена зверху (знизу) множина має безліч верхніх (нижніх) меж.

Найменша верхня межа обмеженої зверху множини називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається (supremum (лат.) – найвище).

Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається (infimum (лат.) – найнижче).

Якщо , то для довільного числа існує таке, що . Якщо , то для довільного числа існує таке, що .

Теорема. Будь-яка непорожня обмежена зверху числова множина має точну верхню межу. Якщо ж вона обмежена знизу, то має точну нижню межу.

Доведення. Нехай – непорожня обмежена зверху числова множина. Тоді множина чисел, які обмежують зверху, непорожня. Із означення верхньої межі випливає, що виконується нерівність . За аксіомою неперервності дійсних чисел існує таке число , що виконується нерівність .

Із цієї нерівності випливає, що обмежує зверху, тобто є верхньою межею, і є найменшим із усіх верхніх меж, тобто є точною верхньою межею.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Якщо множина не обмежена зверху ( знизу ), то за домовленістю пишуть .

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
3. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
4. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
5. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
6. Відмінок Однина Множина
7. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
8. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
9. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
10. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.
11. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
12. Властивості множини цілих чисел.

Переглядів: 3911