Теорема Лагранжа

Якщо функція визначена на відрізку і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка ,

2) диференційована на інтервалі , то існує точка така, що

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

Ця функція визначена на відрізку і задовольняє всім умовам теореми Ролля. Дійсно,

1) оскільки і неперервні функції на відрізку , то і функція також неперервна на .

2) функція диференційована на інтервалі :

3) на кінцях відрізку функція має рівні значення

За теоремою Ролля існує точка така, що , тобто

Звідси маємо

Зауваження. Якщо функція на відрізкузадовольняє умовам теореми Лагранжа, то із останньої формули одержуємо

Ця формула називається формулою скінчених приростів або формулою Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то одержимо

, де .

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна хорді, проведеній через точки (рис. 24).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема Ролля	\|	Наслідки з теореми Лагранжа.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.