2) диференційована на інтервалі , то існує точка така, що
.
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
.
Ця функція визначена на відрізку і задовольняє всім умовам теореми Ролля. Дійсно,
1) оскільки і неперервні функції на відрізку , то і функція також неперервна на .
2) функція диференційована на інтервалі :
.
3) на кінцях відрізку функція має рівні значення
.
За теоремою Ролля існує точка така, що , тобто
.
Звідси маємо
.
Зауваження. Якщо функція на відрізкузадовольняє умовам теореми Лагранжа, то із останньої формули одержуємо
.
Ця формула називається формулою скінчених приростів або формулою Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то одержимо
, де .
Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка така, що дотична до графіка функції у точці паралельна хорді, проведеній через точки (рис. 24).