Подальший розвиток системи диференціальних рівнянь Ейлера провів Бернуллі. Він помножив рівняння системи почленно на прирощення відповідної осі, склав отримані вираження і після їх перетворень отримав рівняння, відоме як рівняння Бернуллі.
Для ідеальної струминки рідини воно має вигляд:
. (2.27)
Рівняння читається так:
Для усіх перерізів сталого потоку ідеальної рідини гідродинамічний напір є величиною незмінною.
У (2.27):
z –
нівелірна висота (геометричний або висотний напір), характеризує питому потенціальну енергію положення у даній точці або у перерізі;
-
п’єзометричний напір (напір тиску), характеризує питому потенційну енергію потоку в точці або перерізі;
-
повний гідростатичний напір (hст), характеризує повну питому потенціальну енергію;
-
швидкісний або динамічний напір, характеризує кінетичну енергію потоку.
Рівняння Бернуллі можна також сформулювати так: при сталому русі ідеальної рідини сума швидкісного і статичного напорів не змінюється при переході від одного перерізу до іншого.
Воно має енергетичний смисл: при сталому русі ідеальної рідини сума кінетичної і потенціальної енергії для кожного з перерізів є величиною незмінною.
Рівняння Бернуллі – це окремий випадок закону збереження енергії і виражає енергетичний баланс потоку.
Для реальної струминки рідини слід враховувати втрату енергії на подолання внутрішнього тертя (Dhвтр.). Тоді рівняння Бернуллі набуває вигляду:
. (2.28)
Враховуючи, що цілий потік характеризується сукупністю елементарних струминок, що рухаються з різними швидкостями, у рівнянні для цілого потоку реальної рідини необхідно перейти до значення швидкості, усередненій для значень усіх елементарних струминок: wсер.=awелементарної струминки,
де a - коефіцієнт, що характеризує нерівномірність розподілу швидкостей у потоці. Значення цього коефіцієнту для турбулентного руху коливається у межах 1,05 ¸1,02.
Звідси рівняння Бернуллі для цілого потоку буде мати вигляд: