• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 4. Елементи векторної алгебри

Мета: Оволодіти основними поняттями векторної алгебри та взаємозв’язками між ними.

План.

1. Вектори та дії над ними.

2. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.

3. Базис. Система координат.

1. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначаємо ,тощо. Основними характеристиками вектора є напрям та довжина (абсолютна величина). Довжина вектора позначається т.д. Вектор з нульовою довжиною називається нуль-вектором і позначається .

Означення 1: Колінеарними векторами називаються вектори, які розміщенні на одній прямій або на паралельних прямих.

Означення 2: Компланарні вектори, це вектори, які розміщуються в одній площині чи паралельних площинах.

Ветори та називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і напрямлені в один бік.

Наприклад, вектори та не є рівними, оскільки вони не мають спільного напряму.

Операції над векторами.

1. Додавання векторів. Сумою двох векторів називається вектор, початок якого збігається з початком вектора- першого доданку, а кінець з кінцем вектора- другого доданку.

2. Різниця векторів. Різницею двох векторів та називається вектор , такий, що .

3. Добуток вектора на число. Добутком вектора на число a називається вектор, який має довжину |a | і який колінеарний вектору .

Якщо a>0, то вектори a і однаково напрямлені, якщо a<0, то вектори a і мають протилежний напрямок.

Справедливе наступне твердження:

Для того, щоб два вектори та були колінеарними наобхідно і досить, щоб їх можна було записати a= , де a – дійсне число.

2. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа a₁, a₂, ..., a_n , не всі рівні нулю, такі, що для них виконується рівність

. (1)

Вектори називаються лінійно незалежними, коли рівність (1) виконується тільки тоді, коли всі a₁, a₂, ..., a_n дорівнюють нулю.

Нехай лінійно залежні і a₁№0. З рівності (1) випливає

, де .

Звідси видно, що у випадку лінійної залежності хоч один вектор є лінійною комбінацією всіх інших векторів.

Зрозуміло, що якщо вектори колінеарні, то вони лінійно залежні.

Теорема 1. Три вектори на площині – лінійно залежні.

Теорема 2. Для того, щоб два вектори на площині були лінійно незалежні, необхідно і досить, щоб вони були неколінеарні.

Максимальне число лінійно незалежних векторів на площині рівне 2.

Аналогічно доводимо наступне:

1) Будь-які чотири вектори в просторі лінійно залежні.

2) Для того, щоб три вектори в просторі були лінійно незалежні, необхідно і досить, щоб вони були некомпланарні.

Максимальне число лінійно незалежних векторів в просторі рівне 3.

3. Базисом на площині називаються будь- які два лінійно незалежні вектори, взяті в певному порядку.

Позначимо два неколінеарні вектори, що утворюють базис, е₁, е₂.

Справедливе наступнетвердження: Довільний вектор площини можна розкласти по векторах базису.

Аналогічно базисом в просторі називається будь-які три лінійно незалежні вектори, взяті в певному порядку (іншими словами три некомпланарні вектори утворюють базис).

Справедливе наступнетвердження: Довільний вектор простору можна розкласти по векторах базису.

Впорядкована система трьох векторів, що визначають осі, разом з спільним початком і спільною одиницею довжини називається системою координат..

Впорядкована система трьох взаємно перпендикулярних векторів, що визначають осі, разом з спільним початком і спільною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат.

В цій впорядкованій системі , що позначається Oxzy , вісь Ox називається віссю абсцис, вісь Oy називається віссю ординат, вісь Oz називається віссю аплікат. Вектор, розкладений по векторах базису, спроектуємо на кожну з осей, і отримаємо відповідні проекції. Довжину проекції на осі абсцис назвемо абсцисою точки, початок якої лежить в початку координат, а кінець на кінці вектора. Аналогічно позначаємо ординату і аплікату точки.

Теорема. Будь- який вектор можна розкласти по ортам координатних осей.

Розклад вектора по трьох ортах представимо у вигляді: . Коефіцієнтами цього розкладу служать проекції вектора на координатні осі, їх прийнято називати координатами вектора. Таким чином, коефіцієнтами розкладу вектора по осях служать його координати.

Внаслідок взаємної перпендикулярності координатних осей, довжина вектора , початок якого лежить в початку координат, рівна довжині діагоналі прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторахі виражається рівністю .

Вектор можна виразити через координати початку і кінця. Нехай початок знаходиться в точці , а кінець - в точці . Тоді з рівності маємо

Звідси , або

Операції над векторами, заданими координатами:

1. Сумою двох векторів та є вектор

2. Різницею двох векторів та є вектор де

3. Добутком вектора на число a є вектор a

Аналогічні операції можна проводити над векторами на площині.

Читайте також:

1. Адміністративне правопорушення як підстава юридичної відповідальності: ознаки і елементи.
2. Азот, фосфор, біогенні елементи та їх сполуки, органічні речовини
3. Базові елементи управління проектом
4. Будова й основні елементи машини
5. Валідація НАССР- отримання об'єктивного доказу того, що елементи НАССР-плану результативні.
6. Види валютних систем та їх елементи
7. Визначення і елементи накопиченого капіталу.
8. Визначення навантажень на елементи систем регулювання вітроустановок
9. Виробництво та його елементи
10. Виробничий процес та його елементи
11. Вихідні дані для проектування поздовжнього профілю, його елементи та оформлення
12. Внутрішні елементи

Переглядів: 997