Тема 7. Площина та її рівняння

Контрольні запитання

1. Що називається еліпсом, його фокусами, осями, ексцентриситетом та директрисою?

2.Дослідіть форму еліпса і побудуйте його.

3. Що називається гіперболою, її фокусами, осями, ексцентриситетом та директрисою?

4.Дослідіть форму гіперболи і побудуйте її.

5.Вкажіть, які прямі є асимптотами гіперболи і доведіть це.

6. Що називається параболою, її фокусом та директрисою?

7.Дослідіть форму параболи і побудуйте її.

Мета. Дати уявлення про рівняння поверхні в тривимірному просторі, розглянути рівняння площини, заданої різними способами.

План.

1. Поняття про рівняння поверхні в просторі.

2. Загальне рівняння площини.

3. Різні види рівняння площини:

4. Деякі задачі для площини в просторі.

1. В аналітичній геометрії всі об’єкти (точки, лінії, поверхні) вивчаємо за допомогою методів алгебри. Це вдається робити, використовуючи метод координат, запрропонований Декартом. Довільний геометричний об’єкт розглядаємо як множину точок, що задовільняють леякі, тільки їм присущі властивості. При переході точок від одного об’єкта до другого їх властивості міняються. З допомогою методів аналітичної геометрії ця закономірність може бути виражена у вигляді рівнянь, нерівностей, систем, тощо.

Рівнянням, що відповідає заданій множині точок називається рівність, якій задовільняють всі точки, що належать множині і не задовільняє ні одна точка, що множині не належить. З відомостей, одержаних в попередніх курсах, вам відоме, наприклад, рівняння сфери, прямої в просторі.

Таким чином, рівнянням поверхні в просторі у вибраній системі координат, називається рівняння F(x,y,z)=0, яке задовільняє кожна точка, що належить поверхні і не задовільняє ні одна точка, що не лежить на заданій поверхні.

2. Розглянемо рівняння площини, що проходить через задану точку, перпендикулярно до деякого вектора. Нехай це точка M₀ (x_0і y₀, z₀) i вектор . Заданий вектор, як і у випадку з прямою на площині, назвемо нормальним. Якщо деяка точка М належить площині, то зрозуміло, що перпендикулярний до , тобто їх скалярний добуток рівний нулю.

. Отже, .

Тут А,В,С –координати вектора, перпендикулярного до площини.

Таке рівняння називається загальним рівнянням площини.

Теорема: Кожна площина визначається рівнянням І степеня відносно декартових координат x;y;z : Ах+Вy+Cz+D=0

Обернено: Кожне рівняння І степеня відносно x;y;z визначає в просторі площину:

Розглянемо кілька окремих випадків.

1. Якщо D=0 Ю Ax+By+Cz=0 – площина проходить через О(0;0;0)

2. Якщо А=0 Ю By+Cz+D=0

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Канонічне рівняння гіперболи.	\|	Видно, що ,( тобто площина паралельна до осі Ox.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.