• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Статистичні методи вивчення і прогнозування показників надійності і довговічності. Закони розподілу випадкових величин в теорії надійності

Лекція 18.

Визначення показників надійності технологічного обладнання і машин за допомогою матема­тичних методів на основі узагальнення нагромадженої масової ста­тистичної інформації зі сфери їх експлуатації дає змогу встановлю­вати ймовірнісні закономірності та співвідношення між випадковими чинниками, які впливають на рівень надійності об’єктів. При цьому застосовують апарат теорії ймовірностей і математичної статисти­ки. Практичним підґрунтям для використання цих розділів математичних наук є досвід, спостереження, активний експеримент.

Уживають ще й такі специфічні поняття, як випробування (дослід), подія, випадкова величина, імовірність, частота, частість.

Випробування (дослід)– це практичне здійснення деяких умов чи правил. Під час виконання дослідів виникають явища (події). Во­ни бувають поодинокими, коли явище виникло один раз при багато­разовому повторенні досліду і більше не виникає. Переважно ж події бувають масовими, тобто такими, які повторюються за багаторазо­вого проведення дослідів. У практиці експлуатації технологічного обладнання галузі маємо спра­ву з масовими подіями.

Подія – це явище, яке виникає у результаті досліду. Отже, експлуатація об’єктів харчової промисловості з позицій теорії ймовірностей – це випробування (дослід), а виникнення їх відмов за певний період часу чи наробітку – це події.

Події бувають вірогідні, неможливі, випадкові, сумісні, несу­місні, рівноможливі та незалежні.

Вірогідні події–такі, які в дослідах виникають завжди (наприклад, зміна розмірів деталей унаслідок їх спрацювання).

Неможливіподії – такі, які в дослідах ніколи не виникають (наприклад, наявність незношеного колінчастого вала холодильного компресора, який на­дійшов у ремонт чи вичерпав свій ресурс).

Випадковіподії – такі, які в результаті досліду можуть виникати або не виникати (відмова якогось конструктивного елемента об’єкта на заданому проміжку часу або наробітку).

Сумісні події – дві випадкові події, одна з яких не виключає можливості появи іншої (наприклад, відмова контрольних приладів дифузійного апарата цукрового заводу, як подія А, не виключає відмови його приводу, як події В).

Несумісні події– такі дві події, коли при випробуваннях поява однієї унеможливлює появу іншої (відмова приводу і роботоздатний стан дифузійного апарата – це події, які не можуть виникати одночасно).

Рівноможливі події – декілька можливих подій, які з’являються у процесі випробування (відмови дозувального механізму пакувальної машини, вимірювальних приладів, конвеєра тощо). До них належать також сумісні події.

Незалежніподії – такі, поява яких не залежить від того, яка подія виникла перед цим (наприклад, попередня відмова системи контролю не впливає на наступну відмову системи забезпечення вакууму в ректифікаційному апараті спиртового заводу).

Очевидно, що факти виникнення подій (відмов) є якісною характеристикою результатів випробувань. Кількісну характеристику становлять випадкові величини та їхні значення.

Випадковою величиноюназивають таку, яка у результаті до­сліду може набувати певного значення, причому наперед (пе­ред дослідом) невідомого. Наприклад, наробіток об’єкта до чи на відмову, середній ресурс, спрацювання його деталі тощо. Випадкові вели­чини позначають великими латинськими літерами (X, У та ін.), а їхні можливі кількісні значення відповідними малими (х, у тощо). Випадкові величини можуть бути дискретними та безперервними.

Дискретна випадкова величина – така, кількість можливих значень якої можна перелічити і яка має певний обсяг вибірки (наприклад, кількість дефектних деталей, значень спрацювання, відмов тощо).

Безперервнавипадкова величина – така, яка за певного інтер­валу часу може набувати будь-якого значення (тривалість безвідмо­вної роботи об’єкта, його ТО чи ремонту тощо). З метою кількісної оцінки виникнення випадкових подій під час реалізації різних до­слідів користуються виразом, числове значення якого буде тим бі­льшим, чим вища можливість появи подій. Цей вираз у теоретичному розумінні називають імовірністю події і визначають із співвідношення

,

(1)

де Р(А) – імовірність появи події А; т – кількість випадків у досліді, які сприяють появі події А; n – загальна кількість дослідів.

Експериментальне значення імовірності появи події називають експериментальною (емпіричною) частістю,або відносною часто­тою, W_i і визначають за формулою

,

(2)

де т_і – частота появи випадкової події (відмови); n_i – загальна кіль­кість проведених дослідів для визначення емпіричної частості.

Ймовірності випадкових величин або подій можна додавати і
множити. Для цього користуються відповідними формулами додавання і множення ймовірностей.

Формула додаванняймовірностей випадкових величин A_i:

.

(3)

Отже, ймовірність появи однієї з кількох незалежних і несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Для випадку повної групи таких подій А_і матимемо

.

(4)

На практиці у дослідженнях надійності обладнання, машин та їхніх систем розглядають, як правило, дві несумісні протилежні події – роботоздатний стан з імо­вірністю Р і стан їхніх відмов з імовірністю . Тоді (5)

Формула множенняймовірностей:

. (6)

Якщо дві події А і В є незалежними, то ймовірність сумісної появи їх дорівнює добуткові ймовірностей цих подій.

Якщо , то .

Якщо маємо більше, ніж дві незалежних події, то

(7)

При цьому, якщо , то

(8)

За формулою множення ймовірностей можна легко встановити, що система послідовно з’єднаних об’єктів не може бути надійнішою від найменш надійних своїх конструктивних складових.

Приклад 1. Нехай об’єкт складається з двох послідовно з’єднаних агрегатів, імовірність безвідмовної роботи яких становить Р₁ = 0,8; Р₂ = 0,9. Отже, ймовірність безвідмовної роботи об’єкта становитиме: Р=Р₁Р₂=0,8·0,9 = 0,72.

Для залежних випадкових подій формула множення ймовірнос­тей набуває такого вигляду:

(9)

де Р(АВ) – імовірність одночасної появи подій А і В; Р_В(А) – імовірність появи події А за умови, що вже виникла подія В (цю ймовірність ще називають умовною).

Читайте також:

1. Cтатистичне вивчення причин розлучень.
2. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
3. II. Мета вивчення курсу.
4. IV група- показники надійності підприємства
5. IV. Вивчення нового матеріалу – 20 хв.
6. IV. Вивчення нового матеріалу.
7. IV. Вивчення нового матеріалу.
8. IV. Закони ідеальних газів.
9. IІІ. Вивченняння нового навчального матеріалу.
10. V. Вивчення нового матеріалу.
11. А .Маршалл - основоположник неокласичної теорії.
12. Абсолютна величина числа позначається символом .

Переглядів: 536