• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Методичні вказівки до індивідуального домашнього завдання №4

1 Тема Схема незалежних випробувань. Формула Бернуллі.

Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула Пуассона

2 Мета Набути навички та вміння обчислювати ймовірності подій за формулами Бернуллі, Пуассона, за локальною та інтегральною теоремами Муавра – Лапласа

3 Теоретичні відомості

Формула Бернуллі. Проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А настає з однією і тією ймовірністю р. При цьому знаходять ймовірність того, що в n випробуваннях подія А настає k разів ( 0 ≤ k ≤ n )

Значення k₀ називають найімовірнішим числом появи події А і знаходять із нерівності: np – q ≤ k₀ ≤ np + р

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), а n велике (п>10), то

— парна, .

≈ 0 при х > 4 , x < - 4

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність появи події в схемі Бернуллі дорівнює р ( р ≠ 0, р ≠ 1), то ймовірність того, що ця подія настане від

k₁ до k₂ разів, дорівнює

i= 1, 2 .

Ф ( -х) = - Ф (х).

Ф (х) ≈ 1/2 при х > 5, Ф (х) ≈ - 1/2 при х < - 5.

Формула Пуассона. Якщо в схемі випробувань Бернуллі р мале

( р< 0,1), n велике, тобто n p < 10, то

Р_n (k) ≈ е^{- а} а^k / k !, а = np

4 Розв’язування типових прикладів

Приклад 1. У цеху п’ять верстатів. Ймовірність того, що кожен з них працює, p=0,8. Знайти ймовірність того, що з них працює k =0, 1, 2, 3 , 4, 5 верстатів.

Розв’язування. Згідно з формулою Бернуллі

Р₅ (0) = ; Р₅ (1) = ;

Р₅ (2) = ; Р₅ (3) = ;

Р₅ (4) = ; Р₅ (5) = ;

Приклад 2. Знайти імовірність того ,що з n= 100 зернин зійде рівно k = 80, якщо їх схожість р = 0,8.

Розв’язування. Згідно з формулою Лапласа, а також з таблицею значень , маємо

Приклад 3. Металургійний завод дістав замовлення, для виконання якого необхідно провести 90 кондиційних плавок. Ймовірність того, що плавка буде кондиційною, р = 0,9. Тому вирішили зробити n =100 плавок. Йдеться про ймовірність Р₁₀₀ (90,100) , для якої ,згідно з інтегральною теоремою, маємо

Р₁₀₀ (90,100) ≈ Ф (3,33) – Ф (0) = 0,4994.

Як бачимо, дістали не таку вже й велику ймовірність.

5 Контрольні питання

1. Схема незалежних випробувань. Формула Бернуллі.

2. Локальна теорема Муавра-Лапласа (коли вона застосовується).

3. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа (коли вона застосовується).

4. Формула Пуассона (коли вона застосовується).

5. Найімовірніше число появи події.

Індивідуальне завдання № 3

1 Тема Схема незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

2 Мета Навчитись розв’язувати задачі за формулою Бернуллі, за локальною та інтегральною теоремами Мавра-Лапласа, за формулою Пуассона.

3 Завдання

3.1 Завод відправив на базу 700 виробів. Ймовірність пошкодження в дорозі 0,001. Знайти ймовірність того, що пошкоджений буде хоча б один виріб.

3.2 Чому дорівнює ймовірність появи події в одному з випробувань, якщо найбільш ймовірне число появи події в 55 випробуваннях дорівнює 40?

3.3 Посадили 350 дерев. Знайти ймовірність того, що число дерев, що прижилися, більше 300, якщо ймовірність того, що одне з них приживеться дорівнює 0,9.

3.4 При масовому виробництві шестерен ймовірність браку при штампові 0,15. Яка ймовірність того, що із 60 шестерен 8 будуть браковані?

3.5 В магазин зайшли 3 покупця. Ймовірність того, що кожний із них щось купить 0,4. Яка ймовірність того, що 2 покупця щось куплять?

4 Виконання завдання

4.1 Випробування: завод відправив вироби

Подія А – пошкодженим буде хоча б один виріб

Подія – пошкоджених не буде

Р(А) = р = 0,001 q = 1 - р = 0,999

n = 700 k = 0

За формулою Пуассона , , ,

Відповідь: .

4.2 n=55 k₀=40

p – ?

Формула для знаходження найбільш ймовірного числа подій k₀:

Відповідь: р є [ 0,714; 0,732].

4.3 Випробування: Посадили дерева, n = 350

Подія А – дерево прижилося

Р(А) = р = 0,9 q = 0,1

n = 350 k₁ = 301 k₂ = 350

P₃₅₀(301; 350) – ?

За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа: ,

За таблицею маємо:

Відповідь: .

4.4 Випробування: виробництво шестерен

Подія А – бракована шестеренка

Р(А) = р = 0,15 q = 1 – р = 0,85

N = 60 k = 8

P₆₀(8) – ?

За локальною теоремою Муавра-Лапласа: ,

За таблицею маємо:

Відповідь: .

4.5 Випробування: в магазин зайшли покупці

Подія А – покупець щось купить

Р(А) = р = 0,4 q = 1 – р = 0,6

n = 3 k = 2

P₃(2) – ?

За формулою Бернуллі

Відповідь: .

5 Висновок Я навчився (-лася) розв’язувати задачі за формулою Бернуллі, за локальною та інтегральною теоремами Муавра-Лапласа, за формулою Пуасcона.

Методичні вказівки до індивідуального домашнього завдання №4

1 Тема За­ко­ни роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вих ве­ли­чи­н

2 Мета Набути навички та вміння складати закони розподілу дискретної випадкової величини, знаходити інтегральну функцію та щільність розподілу неперервної випадкової величини.

3 Теоретичні відомості

Означення. За­ко­ном роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вої ве­ли­чи­ни на­зи­ва­єть­ся за­кон, за яким ко­ж­но­му її значенню відповідає певна ймовірність цього значення.

Закон розподілу можна задати таблично, перелічивши всі значення x_і і відповідні p_і

Х х₁ х₂ . . . х_n

Р р₁ р₂ . . . р_n

Означення. Інтегральною функцією розподілу випадкової величини Х називається ймовірність того, що Х набуває значень, менших від вказаного фіксованого значення, точніше

F (X) = P(X < x).

Р ( х₁< Х < x₂) = F (х₂) - F (х₁).

Означення. Щільністю розподілу (диференціальною функцією) випадкової величини в даній точці називається границя відношення ймовірності того, що випадкова величина належатиме інтервалу, який містить дану точку, до довжини цього інтервалу за умови, що інтервал стягується до даної точки, тобто

.

f (x ) = F′ (x), F (x ) = , .

Р ( х₁ ≤ Х < х₂ ) = або Р ( х₁< Х < x₂) = F (х₂) - F (х₁).

1. Рівномірний розподіл :

P{X = m} = 1/n; m= 1,2,3. . .n

2. Гіпергеометричний розподіл

Р{X = m} = , m = 0,1…. min ( M, n)

Гіпергеометричний розподіл характерний для такої задачі: в партії з N виробів М виробів першого ґатунку і N- М виробів другого ґатунку. З партії для контролю відбирається n виробів. Закон розподілу кількості m-виробів першого ґатунку у відібраній партії є гіпергеометричним.

3. Геометричний розподіл

Р{ X = m} = q ^m-1 • p, m = 1, 2, 3…; 0 < p < 1.

Геометричний розподіл має випадкова величина Х, що дорівнює кількості випробувань в схемі Бернуллі до першого успіху ( невдачі). Наприклад, якщо р – ймовірність влучити в мішень при одному пострілі, то Х – це кількість патронів, що була витрачена до першого влучного пострілу.

4. Біноміальний розподіл

Р{ X = m}= Р_n (m) = C ; m = 0, 1, 2, …n

Цей закон описує ймовірність для випадкової величини Х, яка відповідає кількості успіхів (невдач) у схемі Бернуллі.

5. Розподіл Пуассона ( закон розподілу рідкісних подій)

4 Розв’язування типових прикладів

Індивідуальне завдання № 4

1 Тема За­ко­ни роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вих ве­ли­чи­н.

2 Мета Навчитися складати закони розподілу дискретної випадкової величини; знаходити щільність та функцію розподілу неперервної випадкової величини.

3 Завдання

3.1 В партії з 5 виробів 3 дефектних. Відбирають 3 деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-кількості стандартних деталей серед відібраних.

3.2 Монету підкидають 4 рази. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-кількості випадань герба.

3.3 Щільність розподілу випадкової величини має вигляд

Визначити параметр а, ймовірність попадання випадкової величини в проміжок (1; 3); функцію розподілу F(x). Побудувати графіки функцій f(x) і F(x).

3.4 Знайти щільність розподілу, , якщо функція розподілу має вигляд

4 Виконання завдання

4.1 Випробування: вибирають деталі

Подія А – вибирають стандартну деталь

Х – кількість стандартних деталей серед відібраних

Всього 5 Вибирають 3

Стандартні 2 0 1 2 3

Дефектні 3 3 2 1 0

Х
Рі

Закон розподілу має вигляд

4.2 Випробування: підкидання монети

Подія А – випаде герб

Х – кількість випадання герба

Х
Рі

n = 4

Біноміальний закон розподілу. За формулою Бернуллі:

4.3

a – ?, F(x) – ?, P(1< X <3) – ?

; ; ; ; ;

За означенням .

a)

б)

в)

г)

Відповідь: , .

4.4

Відповідь: .

5 Висновок Я навчився (-лася) складати закони розподілу дискретної випадкової величини, знаходити щільність та функцію розподілу неперервної випадкової величини.

Читайте також:

1. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
2. V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
3. V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
4. V. Завдання.
5. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
6. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
7. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
8. Vi. домашнє завдання
9. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
10. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
11. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
12. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Переглядів: 630