• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Методичні вказівки до індивідуального домашнього завдання №5

1 Тема За­ко­ни роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вих ве­ли­чи­н

2 Мета Набути навички та вміння складати закони розподілу дискретної випадкової величини, знаходити інтегральну функцію та щільність розподілу неперервної випадкової величини.

3 Теоретичні відомості

Означення. За­ко­ном роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вої ве­ли­чи­ни на­зи­ва­єть­ся за­кон, за яким ко­ж­но­му її значенню відповідає певна ймовірність цього значення.

Закон розподілу можна задати таблично, перелічивши всі значення x_і і відповідні p_і

Х х₁ х₂ . . . х_n

Р р₁ р₂ . . . р_n

Означення. Інтегральною функцією розподілу випадкової величини Х називається ймовірність того, що Х набуває значень, менших від вказаного фіксованого значення, точніше

F (X) = P(X < x).

Р ( х₁< Х < x₂) = F (х₂) - F (х₁).

Означення. Щільністю розподілу (диференціальною функцією) випадкової величини в даній точці називається границя відношення ймовірності того, що випадкова величина належатиме інтервалу, який містить дану точку, до довжини цього інтервалу за умови, що інтервал стягується до даної точки, тобто

.

f (x ) = F′ (x), F (x ) = , .

Р ( х₁ ≤ Х < х₂ ) = або Р ( х₁< Х < x₂) = F (х₂) - F (х₁).

1. Рівномірний розподіл :

P{X = m} = 1/n; m= 1,2,3. . .n

2. Гіпергеометричний розподіл

Р{X = m} = , m = 0,1…. min ( M, n)

Гіпергеометричний розподіл характерний для такої задачі: в партії з N виробів М виробів першого ґатунку і N- М виробів другого ґатунку. З партії для контролю відбирається n виробів. Закон розподілу кількості m-виробів першого ґатунку у відібраній партії є гіпергеометричним.

3. Геометричний розподіл

Р{ X = m} = q ^m-1 • p, m = 1, 2, 3…; 0 < p < 1.

Геометричний розподіл має випадкова величина Х, що дорівнює кількості випробувань в схемі Бернуллі до першого успіху ( невдачі). Наприклад, якщо р – ймовірність влучити в мішень при одному пострілі, то Х – це кількість патронів, що була витрачена до першого влучного пострілу.

4. Біноміальний розподіл

Р{ X = m}= Р_n (m) = C ; m = 0, 1, 2, …n

Цей закон описує ймовірність для випадкової величини Х, яка відповідає кількості успіхів (невдач) у схемі Бернуллі.

5. Розподіл Пуассона ( закон розподілу рідкісних подій)

4 Розв’язування типових прикладів

Індивідуальне завдання № 4

1 Тема За­ко­ни роз­по­ді­лу ви­па­д­ко­вих ве­ли­чи­н.

2 Мета Навчитися складати закони розподілу дискретної випадкової величини; знаходити щільність та функцію розподілу неперервної випадкової величини.

3 Завдання

3.1 В партії з 5 виробів 3 дефектних. Відбирають 3 деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-кількості стандартних деталей серед відібраних.

3.2 Монету підкидають 4 рази. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-кількості випадань герба.

3.3 Щільність розподілу випадкової величини має вигляд

Визначити параметр а, ймовірність попадання випадкової величини в проміжок (1; 3); функцію розподілу F(x). Побудувати графіки функцій f(x) і F(x).

3.4 Знайти щільність розподілу, , якщо функція розподілу має вигляд

4 Виконання завдання

4.1 Випробування: вибирають деталі

Подія А – вибирають стандартну деталь

Х – кількість стандартних деталей серед відібраних

Всього 5 Вибирають 3

Стандартні 2 0 1 2 3

Дефектні 3 3 2 1 0

Х
Рі

Закон розподілу має вигляд

4.2 Випробування: підкидання монети

Подія А – випаде герб

Х – кількість випадання герба

Х
Рі

n = 4

Біноміальний закон розподілу. За формулою Бернуллі:

4.3

a – ?, F(x) – ?, P(1< X <3) – ?

; ; ; ; ;

За означенням .

a)

б)

в)

г)

Відповідь: , .

4.4

Відповідь: .

5 Висновок Я навчився (-лася) складати закони розподілу дискретної випадкової величини, знаходити щільність та функцію розподілу неперервної випадкової величини.

Методичні вказівки до індивідуального домашнього завдання №5

1 Тема Числові характеристики випадкової величини

2 Мета Набути навички та вміння обчислювати числові характеристики випадкової величини.

3 Теоретичні відомості

Означення. Математичним сподіванням випадкової величини Х називається

М (Х) = , М (Х) =

відповідно для дискретних і неперервних величин, тут х_і – значення величини, р_і – ймовірність цих значень, - щільність ймовірності величини.

Математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової величини і зберігає її розмірність

Означення. Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання, тобто D ( X ) = M ( X - M ( X ))²

Рівність конкретизується для дискретних і неперервних величин відповідно

Середнє квадратичне відхилення .

Для нормального розподілу М (Х) = а, (а – параметр розподілу), D ( X ) = ,

де σ - параметр розподілу.

Для експоненціального розподілу М (Х) = , D (X ) = .

Для рівномірного розподілу М ( Х ) = , D (X) = .

Для біноміального розподілу М (Х) = np, D (X ) = npq.

Для розподілу Пуассона М (Х) = , D (X )= λ.

Для геометричного розподілу М (Х) = , D (Х) = .

4 Розв’язування типових прикладів

Індивідуальне завдання № 5

1 Тема Числові характеристики випадкової величини.

2 Мета Навчитися обчислювати числові характеристики випадкової величини.

3 Завдання

3.1 Знайти МХ, DX

3.2 Задано х₁=1, х₂=2, х₃=3, МХ=2,3, МХ²=5,9. Знайти Р₁, Р₂, Р₃.

3.3 – 3.6 Для всіх задач із індивідуального завдання № 4 знайти МХ, DX.

Х
Рі

3.4

Х
Рі

3.5

3.6

4 Виконання завдання

4.1

МХ – ?

DX – ?

Відповідь: , .

4.2

MX=2,3

MX²=5,9

Відповідь: , , .

Х
Рі

4.3

МХ – ?

DX – ?

Відповідь: , .

4.4

Х
Рі

МХ – ?

DX – ?

Відповідь: , .

4.5

Відповідь: , .

4.6

Відповідь: , .

5. Висновок Я навчився (-лася) обчислювати характеристики випадкових величин.

Читайте також:

1. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
2. V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
3. V. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
4. V. Завдання.
5. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
6. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
7. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
8. Vi. домашнє завдання
9. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
10. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
11. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
12. VI. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Переглядів: 384