Нехай в системі координат 0 xyz задана довільна площина π .
Візьмемо на цій площині яку-небудь точку M0( x0, y0, z0).
→
π і
Виберемо вектор n( A, B ,C ) перпендикулярний до площини
назвемо
його нормальним
вектором, або
просто нормаллю.
Цими
→
двома
величинами (точкою
через яку проходить площина і
z
n
вектором перпендикулярним до
M0
площини) площина визначаєть-
ся однозначно. На площині
π
M
візьмемо
довільну
точку
O
M ( x , y , z )
(мал.44). Тому що
точка
М( x , y ,z )
знаходиться
х
π
на →
площині,
то
вектор
Мал.44
вектора
→
M0 M перпендикулярний
до
а це значить, що їх скалярний добуток дорівнює нулю,
n ,
→
→
тобто
М0 M⋅ n
= 0
(2.70).
Рівняння (2.70) є векторним рівнянням площини. Розпишемо
рівняння (2.70) в координатній формі , знаючи, що
→
→
n( A, B ,C ).
M0 M = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) .Одержимо
A( x − x0 ) ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0
(2.71).
Рівняння (2.71) є рівнянням площини, що проходить через за-дану точку M0( x0 ,y0, z0) і перпендикулярна до заданого вектора
→
n( A, B ,C ) .Рівняння(2.71)задовольняють координати довільної
точки, яка знаходиться на цій площині π і не задовольняють коор-динати довільної точки, яка не знаходиться на цій площині.
Розкривши дужки в рівнянні (2.71), одержимо
Ax + By + Сz + D = 0 ,
(2.72)
де D = − Ax0 − By0 − Cz0 . Рівняння (2.72) називається загальним рів-
нянням площини. Кожна площина в декартових прямокутних коор-динатах визначається рівнянням першого степеня відносно біжучих координат x , y.z. Вірно і обернене твердження: кожне рівняння
першого степеня відносно біжучих координат x , y , z визначає
площину.
Дійсно, нехай x0, y0,z0 - який –небудь розв’язок рівняння
(2.72), тобто
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .
(2.73).
Віднімаючи почленно із рівняння (2.72) рівність (2.73), одер-жимо рівняння A( x − x0) + B( y − y0) + C( z − z0) = 0 , яке і є рівнян-ням площини, що проходить через точку M0( x0, y0, z0) і перпенди-