• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Різні рівняння прямої у просторі

Дослідження загального рівняння

Площина. Пряма у просторі

Лекція 1

1. Загальне рівняння площини.

2. Рівняння площини через дану точку перпендикулярну до даного нормального вектора.

3. Дослідження загального рівняння.

4. Рівняння площини в відрізках. Рівняння через три точки.

5. Умови перпендикулярності та паралельності площин.

6. Канонічне рівняння прямої у просторі.

7. Параметричне рівняння прямої через дві точки.

Нехай маємо трьох-вимірний простір в якому є деяка площина α. Точка M0(x₀,y₀,z₀) є α.

Нехай маємо вектор N(a,b,c), що перпендикулярний α, тобто вектором N, що називається нормалью (нормальним вектором) до площини та фіксованою точкою М_0, можна задати площину α. Для знаходження рівняння площини α візьмемо деяку точку М(x,y,z) є α.

З точки М₀ до точки О проведемо радіус-вектор r=OM₀(x₀,y₀,z₀)

З точки М проведемо редіус-вектор r=OM(x,y,z), тоді M₀M=r-r₀=(x-x₀;y-y₀;z-z₀),

M₀M N => M₀M·N=0

(1) (r-r₀)·N=0 – векторна форма;

(2) A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 – координатна форма.

Отже рівняння (1) - векторне рівняння площини α, рівняння (2) – рівняння площини через дану точку M₀(x₀,y₀,z₀) та даним нормальним вектором N(a,b,c).

В рівнянні (2) розкриємо дужки:

Ax-Ax₀+By-By₀+Cz-Cz₀=0, позначимо D=-Ax₀-By₀-Cz₀, маємо:

(3) Ax+By+Cz+D=0 – загальне рівняння площини.

Отримали пряму, що є YOZ, пряма витягується вздовж вісі OX.

Висновок: Дане рівняння площини при А=0 є площина паралельна вісі OX.

4. C=0 => Ax+By+D=0; Ax+By=-D

5. A=D=0 => By+Cz+D=0

y = ·z

Маємо пряму в площині YOZ, що проходить через

початок координат, далі пряма витягується вздовж вісі OX

6. B=D=0; Ax+Cz=0

x = · z

7. C=D=0; Ax+By=0

y =

8. A=B=D=0; Cz=0; z=0 => XOY

9. A=C=D=0; By=0; y=0 => XOZ

10. B=C=D=0; Ax=0; x=0 => YOZ

11. A=B=0; Cz+D=0; Ax=0; x=0 || YOZ

12. A=C=0; By+α=0; y = || XOZ

13. B=C=0; Ax+D=0; x = || YOZ

Зауваження: рівняння площини вигляду називають рівняння площини у відрізках.

2) 3x-2y+12=0

X=2; y=-2

X=-2; y=4

A(4; -2; 0); B(-2; 4; 0); O(0; 0; 0)

4) 2x+y+z=0

M(-2; 0; 0)

X=-2 || YOZ

5) 4y+6z=8 |:8

Аналогічно рівнянням прямої на площині виводяться рівняння прямої у просторі, а саме:

1. Канонічне рівняння – рівняння прямої через дану точку зі співнарямленим вектором

(5) M₀(x₀,y₀,z₀); S(l,m,n)

2. Параметричне рівняння

x=lt+x₀

(6) y=mt+y₀

z=nt+z₀

3. Рівняння прямої через дві точки

(7)

M₀(x₀,y₀,z₀)

M₁(x₁,y₁,z₁)

M(x,y,z) – вільна точка

Нехай задано два канонічних рівняння прямих:

L₁: ; L₂: .

Умовою паралельності двох прямих є пропорційність координат співнапрямленого вектора

Умовою перпендикулярності є рівність скалярного добутку спів напрямлених векторів.

S₁ (l₁;m₁;n₁); S₂(l₂;m₂;n₂)

C(x;y;z)

AD=(x-x₀;y-y₀;z-z₀)

AB=(x₁-x₀;y₁-y₀;z₁-z₀)

AC=(x₂-x₀;y₂-y₀;z₂-z₀)

Умовою компланарності векторів є рівність нулю їх мішаного добутку, або в розгорнутому вигляді:

x-x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z_{1 = 0}

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

Нехай маємо дві площини в загальному вигляді:

L₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 N₁ (A₁,B₁,C₁)

L₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 N₂ (A₂,B₂,C₂)

Умовою паралельності двох площин є пропорційність координат векторів, а умовою перпендикулярності є рівність нулю скалярних добутків

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. Анатомія параректальних просторів
3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
4. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
5. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
6. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
7. В українському інформаційному просторі аналітична журналістика також повинна відіграти вже зараз видатну роль: збудувати духовну будівлю українського національного світу.
8. Взаємне розташування прямої та площини.
9. Взаємне розташування прямої та площини.
10. Вивід основного рівняння фільтрації
11. Визначення поняття права. Значення загального поняття права. Різні підходи до визначення поняття права.
12. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині

Переглядів: 1708