Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .
Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.
Функція називається неперервною в точці , якщо .
Нехай функція визначена в деякому околі точки .
Функція називається неперервною в точці ,якщодля довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .
Наведені означення рівносильні.
Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .
Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.
Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .
Дійсно, умову можна записати як . Тоді
.
Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі . Якщо при цьому в точці функція неперервна справа, а в точці – неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .
Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").