• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Ферма

Теореми про середнє значення

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.

Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в деякій точці має найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна , то вона рівна нулю, тобто .

Доведення. Нехай для визначеності функція функція в точці приймає найбільше значення, тобто для всіх .

За означенням похідної

,

причому ця границя не залежить від того, як буде прямувати до . Якщо і , то , а тому

.

Якщо ж і , то .

Отже,

.

Звідси випливає, що .

Аналогічно розглядається випадок, коли в точці функція досягає найменшого значення.

Обертання в нуль похідної в точці , означає, що дотична до графіка функції в точці з абсцисою паралельна вісі (рис. 22).

Зауваження. Теорема Ферма справедлива, коли , і неправильна, коли замість інтервалу розглядати відрізок . Наприклад, функція на відрізку приймає найменше значення в точці , а найбільше в точці . Проте в жодній із цих точок похідна в нуль не обертається.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Друга теорема Вейєрштрасса
3. Запобігання пожежам на тваринницьких фермах, комплексах і птахофабриках
4. Інтегральна теорема Лапласа
5. Локальна теорема Лапласа
6. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
7. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
8. Напряженность поля. Теорема Гаусса
9. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
10. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.
11. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
12. Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса

Переглядів: 829