• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема 1

Обчислення висловлень

Завдання

Запитання

1. В чому полягає відмінність дедуктивних висновків від недедуктивних?

2. Дайте визначення логічного наслідку одного (кількох) висловлень.

3. Яким чином будується дедуктивний висновок?

4. Дайте стислу характеристику основних правил дедуктивного висновку.

1. Якщо конгрес відмовляється прийняти нові закони, то страйк не буде закінчено, якщо він не триває більше року і президент фірми не йде у відставку. Чи закінчиться страйк, якщо конгрес відмовляється діяти і страйк тільки почався? Побудуйте логічний висновок і одержіть відповідь.

2. Доведіть такі твердження: «З тотожно хибної формули логічно виходить будь-яка формула».

3. Доведіть твердження логіки висловлень: «Тотожно істинна формула логічно виходить з будь-якої формули».

Мова, аксіоми і правила висновку, повнота та несуперечність, правила відділення і підстановки, теорема дедукції та її наслідок, доведення методом від супротивного

Для логічного аналізу необхідно створити сукупність правил визначення істинності або хибності висловлень.

Довести те, що деяка формула логіки висловлень є тавтологією, можна, використовуючи таблицю істинності, еквівалентні перетворення формули, а також за допомогою дедуктивного висновку. На базі логіки висловлень створено формальну систему — обчислення висловлень,яка дозволяє за допомогою правил дедуктивного висновку перевірити, чи є задана формула загальнозначущою, а також одержати загальнозначущі формули логіки висловлень.

Насправді, існують різні формалізації логіки висловлень, тобто різні обчислення висловленьабо за іншою термінологією різні формальні системи. Термін формальний означає, що об'єкти розглядаються без інтерпретації їх змісту, значення або сенсу. Операції над об'єктами проводяться за строгими формальними правилами, не розглядається значення сенсу проведених операцій.

Обчислення висловлень містить мову, систему аксіом і правила висновку.

Мова обчислення висловленьскладається з правильно побудованих формул логіки висловлень.

Аксіомами обчислення висловленьє деяка множина загальнозначущих формул логіки висловлень.

Правила висновкудозволяють одержувати нові формули, які є істинними за умови істинності всіх засновків, що входять до правила.

Теореми обчислення висловлень є тотожно істинними формулами.

Доведення. Теореми — це формули, які є логічним наслідком множини аксіом даного обчислення. Аксіоми обчислення висловлень є тотожно істинними формулами, а логічні наслідки тотожно істинних формул також є тотожно істинними (твердження 3, п. 5.3). Таким чином, теореми обчислення висловлень є тотожно істинними формулами, що і треба було довести.

Системи аксіом обчислення висловлень підбираються таким чином, щоб обчислення мало властивість повноти.

Повнота обчислення висловленьполягає в тому, що в даній системі є достатня кількість аксіом для того, щоб вивести будь-яку формулу логіки висловлень, яка є тотожно істинною.

Крім того, обчислення висловлень має властивість несуперечності.

Теорема 2. Несуперечність обчислення висловлень

Не існує формули А такої, що формули А і ØА є теоремами цього обчислення.

Доведення. Скористаємося методом від супротивного. Нехай правильно, що А і ØА одночасно є теореми цього обчислення. За законом суперечності хоча б одна з них не є загальнозначущою. З іншого боку, за теоремою 1 всі формули обчислення висловлень є загальнозначущими. Одержана суперечність доводить теорему.

Якщо жодну з аксіом системи обчислення висловлень не можна вивести з решти, застосовуючи правила висновку даної системи, то говорять, що система аксіом незалежна. Аксіоми обчислення висловлень підбираються таким чином, щоб вони були незалежні.

Крім правила відділення (Modus Ponens, п. 5.3), у обчисленні висловлень часто використовується так зване правило підстановки.

Правило підстановки

Нехай F₁і F₂— формули логіки висловлень, А — атомарна формула. Якщо F₁(A) — формула, виведена в обчисленні висловлень, що містить атом А, то F₁(В)— виведена формула, одержана заміною всіх входжень А у формулі F₁на формулу F₂.

Правило підстановки записується так:

.

Правило підстановки виражає той факт, що якщо у тотожно істинній формулі всі входження будь-якого атома замінити на деяку формулу, то одержаний вираз залишиться тотожно істинним.

Приклад. Використовуючи правило підстановки і комутативний закон для диз'юнкції, довести загальнозначущість такої формули:

A Ú B Ù C ~ B Ú C Ú A.

Розв'язок. Запишемо тотожність, що відповідає комутативному закону для диз'юнкції:

A Ú D ~ D Ú А.

Визначимо підстановку — атомарну формулу D замінимо на (В Ú С):

A Ú (В Ù С) ~ (В Ù С) Ú А.

Опустивши дужки згідно з пріоритетом операцій, переконуємося в істинності вихідної формули.

Часто правило підстановки не згадують, а використовують його як очевидний факт, правильний для тотожностей. У цьому випадку аксіоми обчислення висловлень називають схемами аксіом,підкреслюючи те, що кожний атомарний символ у них може бути замінений на деяку формулу.

Опишемо дві формальні системи обчислення висловлень.

Система S₁

І. Мова складається з правильно побудованих формул логіки висловлень, що містять операції {Ø, ®}. Алфавіт мови співпадає з алфавітом логіки висловлень і містить, крім символів перелічених логічних операцій, символи дужок і символи для позначення висловлень.

II. Аксіоми:

1. А ® (В ® А);

2. (А ® (В ® С))® ((А ® В) ® (А ® С));

3. (ØВ ® ØА) ® ((ØВ ® А) ® В).

III. Правила висновку:

1. Правило відділення (Modus Ponens);

2. Правило підстановки.

Система S₂

I. Мова складається з правильно побудованих формул логіки висловлень, що містять операції {Ù, Ú, Ø, ®}. Алфавіт мови співпадає з алфавітом логіки висловлень і містить, крім символів перелічених логічних операцій, символи дужок і символи для позначення висловлень.

II. Аксіоми:

1. А ®(В ® А);

2. (А ® В) ® ((А ® (В ® С)) ® (А ® С));

3. (А Ù В) ® А;

4. (А Ù В) ® В;

5. А ® (В ® (А Ù В));

6. А ® (A Ú В);

7. B ® (A Ú В);

8. (A ® С) ® ((В ® С) ® ((A Ú В) ® С));

9. (А ® В) ® ((А ® ØВ) ® ØА);

10.ØØА ® А.

III. Правила висновку:

1. Правило відділення (Modus Ponens);

2. Правило підстановки.

Приклад. Довести вивідність формули А ® А в системі S₁. Процедуру доведення проведемо покроково:

1. (А ® ((А ® А) ® А)) ® ((А ® (А ® А)) ® (А ® А)) — підстановка в аксіому 2 (А ® А) замість В, А замість С.

2. А ® ((А ® А) ® А)— підстановка в аксіому 1 (А®А) замість В.

3. (А ® (А ® А)) ® (А ® А)— за правилом 1, кроки 1, 2.

4. А ® (А ® А)— підстановка в аксіому 1 А замість В.

5. А ® А— за правилом 1, кроки 3, 4.

Доведення проведено.

Часто у математичних міркуваннях істинність твердження В доводять за припущенням істинності твердження А, після чого приходять до висновку, що правильне твердження «якщо А, то В». Такий прийом доведення є правильним і сформульований у такій теоремі. Спочатку введемо символ |— тавтології.

Теорема 3.Теорема дедукції

Якщо А₁, ..., А_n, С|— В, то А₁, ..., А_n|— С ® В. Зокрема, якщо А|— В, то |— А ® В.

Теорема 4.Наслідок з теореми дедукції

Із засновків А ® В, В ® С виводимо А ® С: А ® В, В ® С |— А ® С.

Приклад. Довести, що формула (ØА ® ØВ) ® ((ØА ® В) ® А) виведена в системі S₂.

1. (ØА ® В) ® (ØА ® ØВ) ® ØØА) — підстановка в аксіому 9 ØА замість А.

2. (ØА ® В), (ØА ® ØB) |— ØØА— теорема 3, крок 1.

3. ØØА|— А — аксіома 10.

4. (ØА ® В), (ØА ® ØВ) |— А — теорема 4, крок 2, 3.

5. (ØА ® ØВ) |— (ØА ® В) ® А— теорема 3, крок 4.

6. |— (ØА ® ØВ) ® ((ØА ® В) ® А) — теорема 3, крок 5.

Доведення проведено.

Всі теореми обчислення висловлень зв'язані з розв'язком такої задачі: «чи випливає це твердження з деякої сукупності інших тверджень?» Тобто, доводиться тотожна істинність формули виду А ® В, що можна здійснити кількома методами. Замість прямого логічного висновку формули В з формули А часто виявляється зручним довести суперечність формули А ® ØВ, тим самим довівши істинність формули А® В. В формулі А ® ØВ присутнє заперечення наслідку ØВ, тому такий метод доведення називається доведенням від супротивного.

Дві схеми доведення методом від супротивного

1. (А Ù ØВ) ®(С Ù ØС) º А ® В— якщо з припущення, що А — правильно, а В — неправильно, виходять два суперечних один одному висловлень, то це означає, що з А виходить В (див. твердження 1, п. 5.3).

2. ØВ ®ØА º А ® В — якщо з припущення, що В — неправильно, виходить, що А неправильно, то це означає, що з А виходить В. Таким чином, довівши істинність лівої частини однієї з наведених схем, доводять істинність висловлення А ® В.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Друга теорема Вейєрштрасса
3. Інтегральна теорема Лапласа
4. Локальна теорема Лапласа
5. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
6. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
7. Напряженность поля. Теорема Гаусса
8. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
9. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.
10. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
11. Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса
12. Приведення сили до точки (теорема Пуансо)

Переглядів: 975