• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Біноміальний розподіл

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

На перший погляд може здатися, що для завдання дискретної випадкової величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це не так: випадкові величини можуть мати однакові переліки можливих значень, а ймовірності їх - різні. Тому для завдання дискретної випадкової величини недостатньо перерахувати всі можливі її значения, потрібно ще указати їх ймовірності.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно.

При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці утримує можливі значення, а другий - їх ймовірності:

Взявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і лише одне можливе значення, робимо висновок, що події Х=х₁, Х=х₂, ..., X=х_n, утворюють повну групу; отже, сума ймовірностей цих подій, тобто сума ймовірностей другого рядка таблиці, дорівнює одиниці:

p₁+p₂+...+p_n=1.

Якщо безліч можливих значень Х нескінченна (рахунково), то ряд p₁+p₂+... сходиться і його сума дорівнює одиниці.

Приклад. В грошовій лотереї випущено 100 квитків. Розігрується один виграш в 50 грн. і десять виграшів по 1 грн. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартості можливого виграшу для власника одного лотерейного квитка.

Рішення. Напишемо можливі значення Х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Ймовірності цих можливих значень такі: p₁=0,01, р2=0,1, р₃=1-(р₁+р₂)=0,89.

Напишемо шуканий закон розподілу:

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (х_і, р_і), а потім з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

• Хай проводиться п незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитися або не з’явитися. Ймовірність настання події у всіх випробуваннях постійна і рівна р (отже, ймовірність непояви q=1-р). Розглянемо в якості дискретної випадкової величини Х число появ події А в цих випробуваннях.

Поставимо перед собою завдання знайти закон розподілу величини Х. Для її рішення потрібно визначити можливі значення Х і їх ймовірності . Очевидно, подія А в n випробуваннях може або не з’явитися, або з’явитися 1 раз, або 2 рази, ..., або n разів. Таким чином, можливі значення Х наступні: х₁=0, х₂=1, х₃=2, ..., _хn+1=n. Залишається знайти ймовірності wих можливих значень, для чого достатньо скористатися формулою Бернуллі:

, (*)

де 0, 1, 2, ..., n.

Формула (*) і є аналітичним вираженням шуканого закону розподілу.

Біноміальним називають розподіл ймовірностей, що визначається формулою Бернуллі. Закон названий біноміальним тому, що праву частину рівності (*) можна розглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона:

.

Таким чином, перший член розкладання pⁿ визначає ймовірність настання даної події n разів в n незалежних випробуваннях; другий член визначає ймовірність настання події n-1 раз; … ; останній член qⁿ визначає ймовірність того, що подія не з’явиться жодного разу. Напишемо біноміальний закон у вигляді таблиці:

X	n	n-1	…	k	...
P					...

Приклад. Монета кинута 2 рази. Написати у вигляді таблиці закон розподілу випадкової величини Х - числа випадань „герба”.

Рішення. Ймовірність появи „герба» в кожному випробуванні р=1/2, отже, ймовірність непояви „герба”q=1-1/2=1/2.

При двох киданнях монети гербќ може з’явитися або 2 раз, або 1 раз, або зовсім не з’явитися. Таким чином, можливі ачения Х такі: х₁=2, х₂=1, х₃=0. Знайдемо ймовірності цих можливих значень за формулою Бернуллі:

Напишемо шуканий закон розподілу:

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. IV. Розподіл нервової системи
3. V. Розподільний диктант.
4. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
5. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
6. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
7. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
8. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
9. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом
10. Автоматизація водорозподілу регулюванням за нижнім б'єфом
11. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
12. Аналіз ефективності використання каналів розподілу

Переглядів: 3720