Нехай проводяться незалежні випробування в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р(0<р<1) і, отже, ймовірність її не появи q=l-р. Випробування закінчуються, як тільки з’явиться подія А. Таким чином, якщо подія А з’явилася в k-му випробуванні, то в попередніх k-1 випробуваннях вона не з’являлася.
Позначимо через Х дискретну випадкову величину - число випробувань, які потрібно провести до першої появи події А. Очевидно, що можливими значеннями Х є натуральні числа: х1=1, х2=2, ...
Нехай в перших k-1 випробуваннях подія А не наступила, а в k-му випробуванні з’явилася. Ймовірність цієї «складної події», за теоремою множення ймовірностей незалежних подій,
. (*)
Вважаючи k=1, 2, ... у формулі (*), отримаємо геометричну прогресію з першим членом р і знаменником q (0<q<1;
p, qp, q2p, …, qk-1p, … (**)
З цієї причини розподіл (*) називають геометричним.
Легко переконатися, що ряд (**) сходиться і сума його дорівнює одиниці. Дійсно, сума ряду (**)
p/(1-q)=p/p=1/
Приклад, із гармати проводиться стрільба по цілі до першого влучення. Ймовірність влучення в ціль р=0,6. Знайти ймовірність того що, що влучення відбудеться при третьому пострілі.
Рішення. За умовою, р=0,6, q=0,4, k=3. Шукана ймовірність за формулою (*)