З метою приведення рівняння Ейлера до виду, зручного для інтегрування, помножимо кожне рівняння відповідно на dx, dy, dz і складемо почленно:
.
Тому, що гідростатичний тиск залежить тільки від незалежних перемінних координат x, y, z, ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал функції р = f(x, y, z):
Виконуючи підстановку, отримуємо остаточно
. (5)
Отримане рівняння називається основним диференціальним рівнянням гідростатики. Рівняння виражає функціональну залежність тиску від роду рідини і координат точки в просторі.
Рис. 4 Графічна ілюстрація основного рівняння гідростатики.
Розглянемо найбільш важливий для практики випадок рівноваги рідини, що знаходиться в абсолютному спокої. Припустимо, що закритий резервуар заповнений рідиною, яка знаходиться у спокої. Будемо вважати, що на поверхні рідини діє відомий нам тиск р0 , відмінний від атмосферного. Тоді проекції об'ємних сил (у даному випадку сили ваги) на вісі x і y будуть дорівнювати нулю:
X=Y=0.
Проекція сили тяжіння на вісь z буде дорівнювати Z = -g. Таким чином, основне диференціальне рівняння гідростатики для розглянутого випадку прийме наступний вигляд:
, чи .
Отримане рівняння є диференціальним рівнянням рівноваги рідини, що знаходиться під дією тільки сили тяжіння. Після інтегрування рівняння отримаємо:
.
Знайдемо постійну інтегрування. На поверхні рідини (вільній поверхні) нам відомо, що: р=р0 і z=z0, тобто відомі граничні умови. У такий спосіб для вільної поверхні:
.
Підставимо значення константи С і отримаємо
, чи р=р0+ρ·g(z0-z),
тобто величина гідростатичного тиску цілком визначається вертикальною координатою точки або глибиною її занурення під поверхнею з відомим на ній тиском.
Розглянемо в рідині вільну точку А з координатою z і глибиною занурення h. Вважаючи, що h=z0-z, можемо написати основне рівняння гідростатики в найбільш зручній формі:
р=р0+ρgh, (6)
де р – повний гідростатичний тиск, який дорівнює тиску на вільній поверхні р0, який складений з так званим тиском, обумовленим вагою самої рідини.