Основне рівняння гідростатики.

З метою приведення рівняння Ейлера до виду, зручного для інтегрування, помножимо кожне рівняння відповідно на dx, dy, dz і складемо почленно:

Тому, що гідростатичний тиск залежить тільки від незалежних перемінних координат x, y, z, ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал функції р = f(x, y, z):

Виконуючи підстановку, отримуємо остаточно

. (5)

Отримане рівняння називається основним диференціальним рівнянням гідростатики. Рівняння виражає функціональну залежність тиску від роду рідини і координат точки в просторі.

Рис. 4 Графічна ілюстрація основного рівняння гідростатики.

Розглянемо найбільш важливий для практики випадок рівноваги рідини, що знаходиться в абсолютному спокої. Припустимо, що закритий резервуар заповнений рідиною, яка знаходиться у спокої. Будемо вважати, що на поверхні рідини діє відомий нам тиск р_{0 ,} відмінний від атмосферного. Тоді проекції об'ємних сил (у даному випадку сили ваги) на вісі x і y будуть дорівнювати нулю:

X=Y=0.

Проекція сили тяжіння на вісь z буде дорівнювати Z = -g. Таким чином, основне диференціальне рівняння гідростатики для розглянутого випадку прийме наступний вигляд:

, чи .

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням рівноваги рідини, що знаходиться під дією тільки сили тяжіння. Після інтегрування рівняння отримаємо:

Знайдемо постійну інтегрування. На поверхні рідини (вільній поверхні) нам відомо, що: р=р₀ і z=z₀, тобто відомі граничні умови. У такий спосіб для вільної поверхні:

Підставимо значення константи С і отримаємо

, чи р=р₀+ρ·g(z₀-z),

тобто величина гідростатичного тиску цілком визначається вертикальною координатою точки або глибиною її занурення під поверхнею з відомим на ній тиском.

Розглянемо в рідині вільну точку А з координатою z і глибиною занурення h. Вважаючи, що h=z₀-z, можемо написати основне рівняння гідростатики в найбільш зручній формі:

р=р₀+ρgh, (6)

де р – повний гідростатичний тиск, який дорівнює тиску на вільній поверхні р₀, який складений з так званим тиском, обумовленим вагою самої рідини.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рівняння рівноваги рідини та їх фізичне розуміння.	\|	Рівняння поверхні рівня.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.