Розподіл швидкості по горизонтальному перерізу труби
Ламінарний рух рідини
Розглянемо ламінарний рух рідини у трубопроводі (рис. 23а), в якому: r0 – повний радіус, r – поточний радіус, t – дотична напруга, v – вектор швидкості, N – вектор підрахунку, який починається від стінки трубопроводу.
Виділимо з рівняння рівномірного руху (2.35) дотичну напругу
® t0 = rgJR.
Рис. 23. До виведення рівняння розподілу швидкості рідини по горизонтальному перерізу труби.
і з рівняння Ньютона для в’язкої рідини (1.24)
® .
Прирівнявши праві частини цих рівнянь і замінивши dN на dr, отримаємо
.(2.36)
Оскільки для труби круглого перерізу гідравлічний радіус R =r/2, (2.36) можна записати у вигляді:
. (2.37)
Поділимо перемінні інтегрування й запишемо диференціальне рівняння:
, (2.38)
і, проінтегрувавши по радіусу і швидкості, отримаємо:
, звідки . (2.39)
Для визначення сталої інтегрування С необхідно, щоб функція швидкості дорівнювала нулю. При цьому r=r0.
. (2.40)
Підставивши (2.40) у (2.39), отримаємо формулу швидкості при ламінарному русі рідини:
. (2.41)
При r=r0, тобто у центрі потоку, швидкість набуває максимального значення
. (2.42)
Якщо порівняти вираження з (2.41) і (2.42), то отримаємо
. (2.43)
(2.43) – математичне вираження закону Стокса, який характеризує розподіл швидкостей у перерізі трубопроводу при ламінарному русі.