Числові характеристики законів розподілу неперервних випадкових величин

Тема 7. Неперервно розподілена випадкова величина

У випадку неперервних випадкових величин (НВВ) математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення мають такий же смисл та властивості, як і для дискретних випадкових величин, але обчислюють їх за іншими формулами.

Нехай можливі значення неперервної випадкової величини X заповнюють відрізок [а, b]. Поділимо [a, b] на n частин довжиною

Δx = (b-a)/n.

У кожній частині візьмемо точку ζ_k, k = 1,2, … , n.

Тоді щільність імовірності f(x) в точці ζ_k буде f(ζ_k) - імовірність того, що X прийме значення ζ_k. Одержимо розподіл НВВ X вигляду

X	ζ₁	ζ₂	…	ζ_n
P	f(ζ₁)	f(ζ₂)	…	f(ζ_n)

Сума

характеризує математичне сподівання X тим точніше, чим менше буде Δx ;. Ця сума буде дорівнювати математичному сподіванню М(Х) неперервної величини X, якщо перейти до границі при Δх → 0. Згідно з означенням визначеного інтеграла маємо

Таким чином, доведена

Теорема 1. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення у відрізку [a,b] та має щільність імовірності f(x), то її математичне сподівання знаходиться за формулою

(7.1)

Аналогічно доводиться

Теорема 2. Якщо f(x) є щільність імовірності X, неперервна випадкова величина Y є функцією випадкової величини Х_} тобто Y = φ(Х), тоді математичне сподівання Y знаходиться за формулою

Зауваження 1. Якщо можливі значення X належать відрізку [а, b], то центр розподілу М(Х) величини X знаходиться, у цьому проміжку тому, що із нерівностей

та умови нормування випливають співвідношення

Якщо щільність імовірності f(x) - парна функція, тобто f(-x) =f(x), то центр розподілу X співпадає з початком М(Х)=0. Якщо графік функції f(х) симетричний відносно прямої х = а, то М(X) = а.

Як і у випадку дискретних випадкових величин, дисперсію неперервних випадкових величин X визначають так

(7.2)

а обчислюють за формулою

. (7.3)

Якщо можливі значення X належать лише скінченому проміжку (а, b), то рівності (7.2) та (7.3) приймають вигляд

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначають та обчислюють так

. (7.4)

Приклад 1. Знайти числові характеристики випадкової величини X, яка задана функцією розподілу

Розв’язання. Спочатку знайдемо диференціальну функцію розподілу, тобто щільність імовірності f(х)=F’(x)

Тепер за формулою (7.1) знайдемо математичне сподівання

Дисперсію знайдемо за формулою (7.2)

Середнє квадратичне відхилення одержимо за формулою (7.4)

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття моментів розподілу.	\|	Рівномірний розподіл.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.