• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Числові характеристики законів розподілу неперервних випадкових величин

Тема 7. Неперервно розподілена випадкова величина

У випадку неперервних випадкових величин (НВВ) математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення мають такий же смисл та властивості, як і для дискретних випадкових величин, але обчислюють їх за іншими формулами.

Нехай можливі значення неперервної випадкової величини X заповнюють відрізок [а, b]. Поділимо [a, b] на n частин довжиною

Δx = (b-a)/n.

У кожній частині візьмемо точку ζ_k, k = 1,2, … , n.

Тоді щільність імовірності f(x) в точці ζ_k буде f(ζ_k) - імовірність того, що X прийме значення ζ_k. Одержимо розподіл НВВ X вигляду

Сума

характеризує математичне сподівання X тим точніше, чим менше буде Δx ;. Ця сума буде дорівнювати математичному сподіванню М(Х) неперервної величини X, якщо перейти до границі при Δх → 0. Згідно з означенням визначеного інтеграла маємо

Таким чином, доведена

Теорема 1. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення у відрізку [a,b] та має щільність імовірності f(x), то її математичне сподівання знаходиться за формулою

(7.1)

Аналогічно доводиться

Теорема 2. Якщо f(x) є щільність імовірності X, неперервна випадкова величина Y є функцією випадкової величини Х_} тобто Y = φ(Х), тоді математичне сподівання Y знаходиться за формулою

Зауваження 1. Якщо можливі значення X належать відрізку [а, b], то центр розподілу М(Х) величини X знаходиться, у цьому проміжку тому, що із нерівностей

та умови нормування випливають співвідношення

.

Якщо щільність імовірності f(x) - парна функція, тобто f(-x) =f(x), то центр розподілу X співпадає з початком М(Х)=0. Якщо графік функції f(х) симетричний відносно прямої х = а, то М(X) = а.

Як і у випадку дискретних випадкових величин, дисперсію неперервних випадкових величин X визначають так

(7.2)

а обчислюють за формулою

. (7.3)

Якщо можливі значення X належать лише скінченому проміжку (а, b), то рівності (7.2) та (7.3) приймають вигляд

,

.

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначають та обчислюють так

. (7.4)

Приклад 1. Знайти числові характеристики випадкової величини X, яка задана функцією розподілу

Розв’язання. Спочатку знайдемо диференціальну функцію розподілу, тобто щільність імовірності f(х)=F’(x)

Тепер за формулою (7.1) знайдемо математичне сподівання

Дисперсію знайдемо за формулою (7.2)

Середнє квадратичне відхилення одержимо за формулою (7.4)

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
3. Абсолютна величина числа позначається символом .
4. Абсолютні і відносні величини
5. Абсолютні і відносні статистичні величини
6. Абсолютні, відносні та середні величини.
7. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
8. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
9. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
10. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
11. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
12. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом

Переглядів: 1316