• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Кронекера-Капеллі

Кожній системі рівнянь (3.1) відповідають такі матриці

де – матриця, утворена з коефіцієнтів при невідомих, називається основною матрицею системи, – матриця-стовпець, утворена з невідомих системи, – матриця-стовпець, утворена з вільних членів системи.

Матриця , утворена з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів, називається розширеною матрицею системи

.

Вертикальною рискою відокремлюємо елементи матриці системи від вільних членів системи.

Систему лінійних рівнянь можна записати у вигляді матричного рівняння: .

Питання про сумісність системи рівнянь (3.1) розкриває наступна теорема.

Теорема Кронекера-Капеллі.Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці: .

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих , то система має єдиний розв’язок, тобто вона визначена.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший від кількості невідомих , то система має безліч розв’язків, тобто система невизначена. При цьому змінних називають базисними змінними, якщо визначник матриці з коефіцієнтів при них відмінний від нуля. Решту змінних називають вільними.

Приклад 1. Дослідити на сумісність систему рівнянь

Розв’язання. За допомогою методу елементарних перетвореньзнайдемо ранги основної і розширеної матриць. Запишемо розширену матрицю системи:

.

Основна матриця системи після елементарних перетворень має вигляд , а розширена матриця системи після елементарних перетворень має вигляд .

Отже, ранг основної матриці , а ранг розширеної матриці . Оскільки то згідно з теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Друга теорема Вейєрштрасса
3. Інтегральна теорема Лапласа
4. Локальна теорема Лапласа
5. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
6. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
7. Напряженность поля. Теорема Гаусса
8. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
9. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.
10. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.
11. Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса
12. Приведення сили до точки (теорема Пуансо)

Переглядів: 7697