• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Річна рента з платежами в середині періодів

Рис. 5.4. Постійна скінчена річна рента пренумерандо

Рис. 5.3. Дисконтування звичайного ануїтету у часі

Рис. 5.2. Нарощування звичайного ануїтету у часі

Рис. 5.1. Постійна скінчена річна рента постнумерандо

На рис. 5.1 показано, що розмір періодичних платежів R = соnst, платіж у початковий (нульовий) момент часу не здійснюють, платежі надходять наприкінці періодів з 1-го по останній (n-ний).

Для того, щоб знайти нарощену величину такої ренти, необхідно всі періодичні платежі привести (наростити) до останнього періоду часу з урахуванням ставки r. Ілюструє операцію нарощу­вання постійної скінченої річної ренти постнумерандо рис. 5.2.

Відповідно до наведеної на рис. 5.2 схеми, нарощена сума п членів звичайного ануїтету становитиме:

(5.3)

Числова послідовність є геометричною прогресією з першим членом, що дорівнює R та темпом росту (1+r). Скориставшись формулою суми геометричної прогресії вираз (5.3) можна спрос­тити так:

(5.4)

Величину ((1+r)ⁿ -1)/r, яка входить до складу рівняння (5.4), називають множником нарощування звичайного ануїтету (Future Value Interest Factor Annuities, FVIFA).

Розглянемо основні засади оцінювання початкової (дис­контованої) вартості звичайного ануїтету. Ілюструє операцію ди­сконтування постійної скінченої річної ренти постнумерандо рис. 5.3.

Відповідно до наведеної на рис. 5.3 схеми, приведена (дискон­тована) сума п членів звичайного ануїтету становитиме:

(5.5)

Отримане рівняння взаємозв'язку (5.5) між теперіш­ньою та кінцевою величинами звичайного ануїтету повністю від­повідає загальній властивості грошових потоків (5.2).

Підставивши вираз (5.4) у рівняння (5.5), отримаємо:

(5.6)

Величину (1-(1+r)^-n/r, яка входить до складу рівняння (5.6), називають множником дисконтування звичайного ануїте­ту (Present Value Interest Annuities, PVIFA).

Для підвищення ефективності розрахунків в умовах відсутно­сті засобів обчислювальної техніки, для множників нарощування та дисконтування звичайних ануїтетів існують спеціальні довід­кові фінансові таблиці.

Таким чином, користуючись рівняннями (5.4) і (5.6'), знаючи три параметри: розмір щорічного платежу R, кількість років п та ставку дохідності r, завжди можна знайти теперішню та майбут­ню величини звичайного ануїтету.

При плануванні схем погашення боргу, часто розв'язують обер­нену задачу — за відомої теперішньої або майбутньої величини боргу та необхідної ставки дохідності, оцінюють розмір щорічно­го платежу за кредитом, залежно від строку кредиту.

Розв'яжемо рівняння (5.4) і (5.6) відносно величини щорічно­го платежу R..

За відомої кінцевої величини звичайного ануїтету маємо:

(5.7)

Відповідно, за відомої початкової величини звичайного ануї­тету отримаємо:

(5.8)

Отримані вирази (5.7) та (5.8) дозволяють оцінити необхід­ну величину щорічного платежу за кредитною угодою та дозво­ляють її коригувати залежно від строку, суми боргу, ставки по кредиту тощо.

Навівши основні рівняння щодо вартісних характеристик звичайного ануїтету, для кращого розуміння сутності ануїтет них платежів, розглянемо як відбувається нарощення ануїтету по роках.

Приклад.

Маємо звичайний ануїтет з такими параметрами: строк ренти n=5 років, річний платіж R=1000 грн., ставка дисконтування r=10%. Знайти нарощені суми наприкінці кожного року.

Рішення.

Насправді механізм нарахування ренти простий. До суми, що була на рахунку на початок періоду, додається річний платіж. У результаті отримуємо суму на кінець періоду. Потім на останню нараховуємо складний процент. Отримана величина – це сума на початок наступного періоду. Далі цикл повторюється до закінчення строку ренти.

Розрахунки наведено нижче в таблиці.

Отже, нарощена сума становить 6105,1 грн., а теперішня величина ренти за формулою (5.5) дорівнює 6105,1/1,1⁵=3791 грн.

Нескінчена рента постнумерандо (перпетуїтет)

Розглядаючи ренти постнумерандо, необхідно окремо зупини­тися на так званій „вічній” (нескінченій) ренті.

Нескінчена рента (перпетуїтет) — це рента, послідовність платежів за якою нескінчена, тобто вважається, що така рента бу­де виплачуватися необмежено довго.

Аналіз часткового випадку рівнянь (5.4) та (5.6) за умов, що п →∞, дає змогу зробити висновки стосовно вартісних характе­ристик перпетуїтету.

Нарощена величина S нескінченої ренти теж прямує до не­скінченості, а теперішню величину нескінченої ренти знаходять з рівняння (5.9):

(5.9)

З виразу (5.9) видно, що теперішня вартість нескінченої ренти залежить лише від розміру щорічного платежу та річної ставки дохідності. Причому припускається, що ринкова дохідність r з плином часу залишається незмінною.

Приклад 5.1.

Компанія орендує приміщення за 60 тис. грн. на рік. Чому дорівнює викупна ціна оренди, якщо річна ставка ринкової дохід­ності складає 15 %?

Рішення.

Викупна ціна — це теперішня величина всіх майбутніх оренд­них платежів.

За формулою (5.9) вона дорівнює:

А = 60 / 0,15 = 400 тис. грн.

Неважко побачити, що при збільшенні річної ставки до 20 % викупна ціна становитиме лише 300 тис. грн., тобто номінальну (недисконтовану) суму п'ятирічних орендних платежів.

Зазначимо, що згідно виразу (5.9), при збільшенні ринкової норми дохідності теперішня вартість нескінченої ренти буде зменшуватися, тобто строк окупності капіталовкладень буде ко­ротший.

5.4. Річна рента пренумерандо (авансовий ануїтет)

Річна рента пренумерандо (авансовий ануїтет) перед­бачає, що всі додатні, періодичні платежі цього грошового пото­ку, на відміну від звичайних рент (постнумерандо), здійснюють не наприкінці, а на початку року (авансом).

Постійну скінчену річну ренту пренумерандо з параметрами (R,n,r) з погляду розташування платежів у часі графічно відоб­ражено на рис. 5.4.

На рис. 5.4 показано, що розмір періодичних платежів R = соnst, перший платіж здійснюють в початковий (нульовий) момент часу, платежі надходять на початку періодів, тобто в останній (n-ний) момент часу платіж не здійснюють.

Порівнявши графіки виплат, наведені на рис. 5.1 та 5.4, можна зробити висновки, що фактично виплату для авансових рент здій­снюють на один період раніше, ніж для звичайних рент.

Відповідно до введених раніше позначень, запишемо вираз (5.10) для нарощеної суми п- членів авансового ануїтету:

(5.10)

Порівнявши вирази (5.3) та (5.10), можна вивести наступне співвідношення нарощених сум для звичайних та авансових рент:

(5.11)

де — нарощена сума ренти пренумерандо, — нарощена сума ренти постнумерандо.

З рівняння (5.11) видно, що для авансового ануїтету, з погляду нарахування процентів, кожний член ренти „спрацьовує” на один раз більше, ніж для звичайного ануїтету.

Врахувавши властивість (5.11) у формулі (5.4), можна записати таке рівняння для знаходження нарощеної вартості авансового ануїтету:

(5.12)

Вираз (5.12) доцільно використовувати у разі наявності довід­кових фінансових таблиць множників нарощування звичайних ануїтетів. Тоді для визначення нарощеної вартості авансового ануїтету значення з фінансової таблиці достатньо помножити на (1+r).

Розглянемо питання оцінювання теперішньої вартості авансового ануїтету. Відповідно до наведеної на рис. 5.4 схеми, приведена (дисконтована) сума п- членів скінченої ренти прену­мерандо становитиме:

(5.13)

Зрозуміло, що для авансових рент, так само як і для інших ви­дів рент, виходячи із загальної властивості грошових потоків (5.2), можна записати формулу:

(5.14)

Вираз (5.14) пов'язує між собою теперішню та кінцеву вартість авансового ануїтету.

Для визначення теперішньої вартості авансового ануїтету за відомої теперішньої вартості звичайного ануїтету, за аналогією з (5.11), можна записати співвідношення (5.15):

(5.15)

Врахувавши властивість (5.15) у формулі (5.6), можна записа­ти таке рівняння для знаходження теперішньої вартості авансово­го ануїтету:

(5.16)

Отриманий вираз (5.16) є досить складним, проте у разі наяв­ності довідкових фінансових таблиць множників дисконтування звичайних ануїтетів, для визначення теперішньої вартості аван­сового ануїтету значення з фінансової таблиці достатньо помно­жити на (1+r).

Аналіз фінансових потоків у різних сферах діяльності може суттєво різнитися. Так, орендні, податкові та митні платежі часто здійснюють на початку відповідного періоду, тому вони являють собою авансову ренту. Відсотки за депозитами та креди­тами, дивіденди за акціями зазвичай нараховують наприкінці пе­ріоду, тому вони є звичайною рентою. Однак, у цілому, рентні платежі можуть надходити в будь-які моменти часу, а не лише на початку чи в кінці періоду.

Наприклад, аналізуючи не фінансові, а виробничі інвестиції, мож­на побачити, що, за відсутності фактору сезонності, надходження і вилучення коштів на виробництві відбуваються майже рівномірно (а іноді — навіть постійно) протягом відповідного періоду (року, кварталу, місяця тощо). В такому разі доцільним є застосування рент з платежами, які здійснюють у середині періодів, оскільки обчислення саме за такою рентою дасть точніший результат.

Розглянемо основні вартісні характеристики ренти з платежа­ми, які здійснюють в середині періодів.

Постійну скінчену річну ренту з платежами в середині пері­одів з параметрами {R,п,r} з погляду розташування платежів у часі графічно відображено на рис. 5.5.

Читайте також:

1. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
2. Ni - загальна кількість періодів, протягом яких діє процентна ставка ri.
3. Абсолютна земельна рента.
4. Абсолютна земельна рента.
5. Аналіз відносних показників прибутковості (рентабельності) роботи банку
6. Аналіз показників прибутковості та рентабельності підприємства
7. Аналіз показників рентабельності.
8. Аналіз рентабельності діяльності підприємства
9. Аналіз рентабельності підприємства
10. Аналіз рентабельності продукції
11. Аналіз рентабельності продукції.
12. Аналіз та оцінка рентабельності продукції

Переглядів: 936