Поняття алгебри. Приклади алгебр

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається векторний простір , в якому визначена алгебраїчна операція множення векторів, причому виконані наступні умови (аксіоми алгебри):

1. – асоціативність множення;

2. – дистрибутивність справа відносно додавання векторів;

– дистрибутивність зліва відносно додавання векторів;

3. – дистрибутивність відносно множення на число.

Позначається або просто .

Можна дати інше означення алгебри, яке використовує поняття кільця:

Означення. Алгеброю (лінійною алгеброю) над полем називається кільце з одиницею, яке водночас є векторним простором над полем .

При цьому аксіома 3 зв'язує множення на елементи з поля з множенням в кільці.

Розмірність векторного простору називається розмірністю алгебри . Алгебра буде скінченновимірною або нескінченновимірною в залежності від того, скінченновимірний або нескінченновимірний векторний простір .

Зафіксуємо в векторному просторі деякий базис . Тоді множення векторів , однозначно визначається заданням добутків базисних векторів. Дійсно:

Розкладемо вектори за базисом :

Ми бачимо, що структура алгебри на векторному просторі з фіксованим базисом цілком визначається набором елементів поля , . Ці елементи називаються структурними константами алгебри .

З асоціативності множення базисних векторів випливає, що для будь-яких

Навпаки, з останнього співвідношення випливає асоціативність множення базисних векторів.

Елемент алгебри називається одиницею алгебри, якщо для будь-якого елемента .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лінійний оператор та його матриця	\|	Приклади алгебр.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.