Розглянемо прямокутну систему координат в просторі і век-тор, початок якого в точці O (мал.19).Позначимо орти осей коорди-нат Ox ,Oy ,Oz відповідно
через
→ → →
i , j , k ,причому
→
=
→
=
→
= 1.
i
j
k
Спроектуємо вектор
→
OM на координатні осі(че-рез точку M проведемо площини, перпендикулярні до координатних осей). Про-екціями точки M на коорди-натні осі будуть відповідно точки А,В,С (мал.19).
z
C
→k
→
M
r
В
О
j
у
і
А
х
D
Мал.19.
З прямокутника ODMC видно,
що вектор
→
→→
OM = OD+ OC ,
але
з
прямокутника
AOBD одержуємо,
що
вектор
→
→
→
OD = OA+ OB . Тоді
→
→→
→
OM = OA+ OB+ OC
(2.10)
→
Вектор OM , який сполучає точку O з точкою M(x,y,z) нази-вається радіусом-вектором цієї точки.
→ → →
Вектори OA,OB ,OC називаються складовими або
→
а їх величини OA = x ,OB = y ,OC = z
компонентами вектора OM ,
координатами цього вектора.
→
Компоненти вектора OM виразимо
через
його
координати
і одиничні вектори
→ → →
i , j , k ,а саме
→
→→
→
→
→
OA = x i , OB = y j , OC
= z k .
Підставляючи ці значення в рівність (2.10), враховуючи, що
→
→
OM = r ,одержимо
→
→
→
→
r = x i
+ y j
+ z k
(2.11)
→→
→
→
Доданки x i , y j ,zk є складовими або компонентами вектора r .
→ → →
Трійка векторів i , j , k називається координатним базисом, а
розклад (2.11) називається розкладом вектора по базису
основна формула векторної ал-
D
гебри.
z
Приклад 1.Побудувати век-
C
→
тор r = ( −1;2;3 ).
→
Розв’язування.
Компоненти
→ → →
i , j , k .Це
M
→
→
→→→
вектора r єOA
=− i ,OB = 2 j і
→
→
і їм
відповідає пря-
OC = 3 k
мокутний паралелепіпед, діаго-наль якого є шуканий вектор