![]()
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||
Приклад 2 2 страницаРозглянемо вплив періоду функції f(t) на вигляд спектральної діаграми. Для цього представимо f(t) у формі, поданій на Рис. 10.12 Таке подання відповідає імпульсному коливанню, тобто коливанню, що містить часові ділянки, протягом яких f(t) має незмінні значення, наприклад, нульові. Від періоду Т залежить відстань на осі частот між сусідніми лініями спектра.
зменшується. Якщо скористатися заміною
Відвідповідно,
На Рис. 10.13 подано спектральну функцію імпульсного коливання та два дискретних спектри, що відповідають періодичним послідовностям імпульсних коливань однакової форми, період яких відрізняється вдвічі. Як видно з рисунку, різниця між спектрами полягає у подвоєнні кількості гармонік на смугу частот, та зменшенні удвоє амплітуд гармонік. У загальному випадку гармоніки мають дійсну та уявну складові. Але, якщо
і ряд Фур’є буде містити тільки косинусні складові
Наприклад, парну періодичну послідовність прямокутних імпульсів, вид якої подано на Рис. 10.14 можна описати виразом
де Підставимо функцію (30) у формули (28) і одержимо величини спектральних складових
На Рис. 10.15 побудовані лінійчаті спектри періодичної послідовності прямокутних імпульсів (30), розраховані за формулами (31) для двох значень шпаруватості, за умови, що змінюється тривалість імпульсів, а період послідовності залишається незмінним. У разі непарної функції, тобто коли
і ряд Фур’є буде містити тільки синусні складові
Підставляючи цей вираз у формули (32) для визначення амплітуд гармонік, одержимо Після підставлення одержаного виразу у розкладення (33), одержимо лінійчатий спектр непарної пилкоподібної функції
Спектральну діаграму, побудовану за формулою (35) подано на Рис. 10.17.
Під час аналізу енергетичних співвідношень у радіоелектронних колах розглядають миттєву активну потужність, що споживається опором величиною 1 Ом, тобто вважають, що
Підставимо у вираз (36) розкладення Фур’є функції f(t) з (23) Інтегруючи вираз з урахуванням умови ортогональності, одержимо
Тобто, середня потужність періодичного коливання дорівнює сумі середніх потужностей його гармонічних складових. Дієве значення f(t) (ud абоid )
бо для синусоїд Співвідношення називається рівністю Парсеваля для періодичного коливання і подає розподіл потужності коливання f(t) по частотах його гармонік.
10.6. Перетворення Фур’є неперіодичного коливання Розклад Фур’є може бути узагальнений і на випадок неперіодичної функції. Неперіодичну функцію можна розглядати як крайній випадок періодичної за умови, що її період нескінченно збільшується, тобто і підставимо у нього комплексні амплітуди гармонік
Визначимо, як і раніше, де За наведених умов сума у виразі (40) перейде у інтеграл
або де Вираз (43) називається прямим, а вираз (42) – оберненим перетворенням Фур’є. Загалом, вирази (43) та (42) подають пару перетворень Фур’є, які зв’язують між собою дійсну функцію часу f(t) та комплексну функцію частоти
частотний інтервал між складовими -
яка називається спектральною густиною функції f(t). Таким чином, ми маємо два види спектрів коливань: лінійчаті та суцільні. Гармонічні лінійчаті спектри відповідають періодичним коливанням, суцільні – неперіодичним.
10.7. Основні властивості спектрів коливань 1. Перетворення Фур’є є лінійним і підлягає принципу суперпозиції, тобто спектр суми коливань дорівнює сумі їх спектрів
2. Якщо часовій функції Використаємо у інтегралі нову змінну
тобто, під час зсуву функції у часі, форма її спектральної функції залишається незмінною, а кожна спектральна складова набуває зсуву фази на величину 3. Спектр коливання, зсунутого вздовж осі частот
У загальному випадку звідки відповідно, часова функція під час зсуву спектра за частотою набуває множника
З виразу (48) витікає спосіб частотного ущільнення інформаційних каналів, який полягає у тому, що для одночасного передавання повідомлень, спектри яких найчастіше знаходяться у одному діапазоні частот (мовлення, телебачення), часову функцію, яка відтворює повідомлення, слід домножати на гармонічні функції різних частот де 4. Спектр коливання із зміненим масштабом часу Якщо функція
тобто зміна тривалості коливання не змінює форму спектра, а змінює його ширину – коротшому імпульсу відповідає ширший спектр і навпаки. Розглянемо, наприклад, спектр Спираючись на фільтрувальну властивість Тобто спектр найкоротшого імпульсу має нескінченну ширину, іншими словами, має стале значення спектральної густини на будь-якій частоті. 5. Спектр диференційованого у часі коливання Виходячи з того, що спектр є нескінченою сумою комплексних експоненційних функцій
де символом 6. Спектр інтегрованого коливання. Згадуючи положення, наведене у попередньому пункті, та те, що
Таким чином, операції інтегрування функції у часовій області відповідає ділення її спектра на лінійно залежний від частоти дільник 7. Множення коливань та спектрів. Згорткою двох функцій часу називається співвідношення між ними наступного виду
Визначимо спектр коливання
Змінюючи порядок інтегрування і враховуючи співвідношення (47) щодо спектра зсунутого за часом коливання, одержимо
Таким чином, спектр згортки двох коливань дорівнює добутку їхніх спектрів. Внаслідок взаємної оберненості частоти і часу, спектр коливання, що є добутком двох коливань
повинен являти собою згортку їхніх спектрів, тобто
8. Енергія коливання дорівнює Цей інтеграл є скінченим, наприклад, для коливань, обмежених за часом. Для коливань, що не дорівнюють нулю на нескінченності, інтеграл розбігається. Тому для таких коливань визначають не енергію, а потужність, що дорівнює енергії за одиницю часу. Використовуючи пару перетворень Фур’є (42) та (43), енергію коливання можна подати у вигляді Таким чином
9. Інтеграл
що завжди виконується для реальних коливань, бо ця умова тотожна умові скінченності енергії коливання. Але, під час розгляду ідеальних моделей, виконання цієї умови необхідно обговорювати у кожному конкретному випадку. Наприклад, одиничний стрибок 1(t) не відповідає умові (10.57), бо
10.8. Спектральні характеристики моделей коливань Знайдемо спектр
Якщо дорівнює Виконуючи обернене перетворення Фур’є над виразом (58), маємо це, до речі, ще один запис
Таким чином, спектр косинусоїдного коливання є парою
і є єдиною
Формула (61) подає спектр експоненційного імпульсу, що розташований у точці
Спрямовуючи с до нуля, одержимо спектр одиничного стрибка
10.9. Обчислення спектрів імпульсних коливань Спектральні густини імпульсів можна розраховувати, підставляючи функції, що описують імпульси, у формулу прямого перетворення Фур’є (43) і виконуючи інтегрування в межах існування імпульсу. Визначимо, наприклад, у такий спосіб спектр парного прямокутного імпульсу
де Для побудови спектра проаналізуємо хід функції (64) із зміною частоти. Для визначення спектра на частоті
а це - стала складова, частота якої саме дорівнює нулю. Чисельник функції (64) є знакозмінною функцією, а це означає, що половина складових спектра, які є синусоїдами різних частот, має від’ємне значення. Тобто фази цих синусоїд відрізняються на 1800. Визначимо точки зміни знаків чисельника, а саме частот, на яких відбуваються стрибки фази складових спектра:
Визначимо спектр прямокутного імпульсу загального виду, наприклад, такого, що починається у точці Скориставшись першою та другою властивостями спектрів (див. розд. 10.7), а також виразом (63) для спектра одиничного стрибка, маємо
З виразу (67) видно, що спектр – комплексний. Приведемо його до форми, подібної попередньому прикладу парного імпульсу
тобто підтвердимо другу властивість спектра щодо зсуву функції у часі. Форма спектра залишилася незмінною (див. Рис. 10.23), а до фазової характеристики додається лінійна функція частоти Енергетичний спектр імпульсу є дійсним
і незалежним від часового положення імпульсу. Під час розрахунку спектрів імпульсних коливань часто зручно використовувати не пряме перетворення Фур’є, а наведені вище властивості спектрів, зокрема положення про спектр похідної від функції. При цьому слід пам’ятати, що похідна від розривної функції у точці розриву дорівнює Визначимо спектри імпульсів різної форми у такий спосіб. У якості контрольного прикладу знову розрахуємо спектр парного прямокутного імпульсу, зображеного на Рис. 10.24. Похідна цього імпульсу описується виразом Спектр похідної дорівнює різниці спектрів двох зсунутих у часі З іншого боку, спектр похідної дорівнює Підставимо спектр похідної прямокутного імпульсу у останній вираз
і одержимо вже відомий вираз спектра парного прямокутного імпульсу. Таким же чином розрахуємо спектри імпульсів поширених форм. На Рис. 10.25 подано парний трикутний імпульс та дві його похідні за часом. Функція, що описує імпульс має вигляд Перша похідна описується виразом Друга похідна Спектр цієї часової функції має вигляд Читайте також:
|
||||||||
|