• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Виникнення (походження) держави. 5 страница

4. Визначений інтеграл.

5. Формула Ньютона – Лейбніца.

6. Використання визначених інтегралів для обчислення площ плоских фігур.

7. Приклади для розв’язування задач.

1. Первісна та невизначений інтеграл.

В багатьох практичних задачах необхідно по заданій похідній відновити первісну функцію.

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку (а; b), , якщо на цьому проміжку .

Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Означення:Невизначеним інтегралом для неперервної функції називають множину всіх первісних функцій і позначають

де:

— знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

2. Основні властивості невизначеного інтеграла.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Таблиця невизначених інтегралів.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17.

4. Визначений інтеграл

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

6.Формула Ньютона – лейбніца.

Якщо у функції f(x) існує первісна F(x), то

7. Використання інтегралів для обчислення площі плоских фігур

№ п/п	Назва поняття.	Геометричне зображення	Формула для обчислення.
1.	Площа криволінійної трапеції, якщо на відрізку
2.	Площа криволінійної трапеції, якщо на відрізку
3.	Якщо фігура обмежена графіками неперервних на відрізку функціями і , при чому
4.	Якщо функціями кілька разів змінює знак на відрізку , то інтеграл для обчислення площі на всьому відрізку розбиваємо на частини. Інтеграл буде додатній на тих частинах, де і від’ємний там де .

9. Приклади для розв’язування.

1. Знайти невизначені інтеграли.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

2.** Знайти невизначені інтеграли.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

3.* Знайти невизначений інтеграл методом заміни змінної.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

4. **Знайти невизначений інтеграл методом заміни змінної.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

5. ***Обчислення невизначеного інтеграла

методом заміни змінної

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

6. Обчислити визначений інтеграл.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

7. Обчислити площі плоских фігур, обмежених лініями:

1. х – у + 2 = 0; у = 0; х = - 1; х = 2,

2. 2х – 3у + 6 = 0; у = 0; х = 3,

3. х – у + 3 = 0; х + у – 1 = 0; у = 0;

4. х – 2у + 4 = 0, х + 2у – 8 = 0, у = 0; х = - 1; х = 6.

5. у = х² , у = 0, х = 0, х = 3.

6. у = 3 х² ; у = 0; х = - 3; х = 2.

7. у = х² + 1; у = 0; х = - 1; х = 2.

8. у = 0,5х² + 2; у = 0; х = 1; х = 3.

9. у = - (1/3)х² + 3; у = 0; х = 0; х = 3.

10. у² = х; у ≥ 0; х = 0; х = 3.

11. у = - х² – 2х + 8; у = 0.

12. у = - (2/9)х² + (4/3)х; у = 0.

13. у = - х² + 6х -5; у = 0;х = 2; х = 3.

14. у = 1/х; у = 0; х = 1; х = 3.

15. у = 2/х; у = 0; х = 2; х = 4.

16. у = соs x, y = 0, x = 0, x = π/2.

17. y = tg x, y = 0, x = 0, x = π/3.

18. y = tg x, y = 0, x = π/6, x = π/3.

19. y = - 3x, y = 0, x = 2.

20. y = 2x, y = 0, x = - 3.

21. x – 2y – 6 = 0, y = 0.

22. x – 2y – 5 = 0, y = - 2x, y = 0.

23. y = - 3x² , y = 0, x = 1, x = 2.

24. y = - x² – 1, y = 0, x = - 2, x = 1.

25. y = x² – 4, y = 0.

26. y = x³ , y = 0, x = - 2, x = 2.

27. y = 4 x³ , y = 0, x = - 1, x = 2.

28. y² = 4x, x = 1, x = 9.

29. y² = 9x, x = 4,

30. y = sin x, y = 0, x = - π/2, x = π.

31. y = sin x, y = 0, x = 0, x = 2π.

31. y = x² , y = - 3x.

32. y = x² , y = 2x + 8.

33. y = x² , y = x + 2.

34. y = x² + 2 , y = 6.

35. y = 0,5x² – 4x + 10, y = x + 2.

36. y = x² – 2x + 3, y =3 x - 1.

37. y =(1/3)x² – 2x + 4, y = - x + 10.

38. y = 0,5x² + 2x + 4, y = x + 8.

39. y = 2x² + 1, y = x² + 10.

40. y = - 1,5x² + 9x – 7,5, y = - x² +6x - 5.

41. y = x² , y = 2 – x² .

41. y = x² – 6x + 9, 3x – y – 9 = 0.

42. y = x² , x = y² .

Розділ 7. ВЕКТОРИ ТА КООРДИНАТИ

1. Вектори та дії з ними.

2. Лінійні операції над векторами.

3. Рівняння прямої на площині».

4. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

5. Приклади для розв’язування.

1. Вектори та дії з ними.

Вектор – це напрямлений відрізок: , точка А – початок вектора, точка В – кінець вектора.

Нульовий вектор – це вектор, у якого початок і кінець співпадають: .

Довжина вектора (модуль, абсолютна величина) - це довжина відрізка, який зображає даний вектор: .

Координатами вектора називаються його проекції на осі координат.

, де - одиничні вектори, орти.

Якщо і , то координати вектора знаходяться за формулою:

Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені та рівні по довжині

Рівні вектори мають рівні координати.

Довжина вектора: , (якщо , то ).

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Якщо вектори і колінеарні, то їх координати пропорційні .

2. Лінійні операції над векторами.

1.	Вектор.
2.	Координати вектора.	і ,
3.	Довжина вектора.	якщо , то .
4.	Додавання векторів.
5.	Віднімання векторів.
6.	Множення вектора на число.
7.	Скалярний добуток векторів (означення)
8.	Теорема про скалярний добуток векторів
9.	Кут між векторами.
10.	Умова колінеарності векторів.	, .
11.	Умова перпендикулярності векторів.

3. Рівняння прямої на площині».

Читайте також:

1. I. ОБРАЗОВАНИЕ СОЕДИНЕННЫХ ШТАТОВ 14 страница
2. XVII ст.). Виникнення козацтва.
3. А. В. Дудник 1 страница
4. А. В. Дудник 10 страница
5. А. В. Дудник 11 страница
6. А. В. Дудник 12 страница
7. А. В. Дудник 2 страница
8. А. В. Дудник 3 страница
9. А. В. Дудник 4 страница
10. А. В. Дудник 5 страница
11. А. В. Дудник 6 страница
12. А. В. Дудник 7 страница

Переглядів: 875