Розкладання вектора за базисом

Координати вектора у векторному просторі.

Для того, щоб вектори з векторного простору можна було б задавати за допомогою чисел і зводити операції над векторами до операцій над числами, вводиться поняття координат вектора.

Нехай – деякий базис векторного простору . Тоді будь-який вектор можна подати у вигляді (1)

де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектора за базисом .

Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається :

Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями-рядками:

якщо і в деякому базисі, то

Зауваження. Разом із координатними рядками можна розглядати координатні стовпці , отримані транспонуванням -матриці

Приклад.Довести, що вектори утворюють базис у просторі та знайти координати вектора в цьому базисі.

, , ,

Розв’язання. 1) Перевіримо необхідну і достатню умову компланарності векторів :

Оскільки , то вектори некомпланарні, тому вони лінійно незалежні і утворюють базис.

2) Розкладемо вектор за базисом :

або в координатному вигляді:

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому одержимо систему :

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклади.	\|	Векторні простори із скалярним добутком

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.