Для того, щоб вектори з векторного простору можна було б задавати за допомогою чисел і зводити операції над векторами до операцій над числами, вводиться поняття координат вектора.
Нехай – деякий базис векторного простору . Тоді будь-який вектор можна подати у вигляді (1)
де – деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектора за базисом .
Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається :
.
Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями-рядками:
якщо і в деякому базисі, то
,
.
Зауваження. Разом із координатними рядками можна розглядати координатні стовпці , отримані транспонуванням -матриці
Приклад.Довести, що вектори утворюють базис у просторі та знайти координати вектора в цьому базисі.
, , ,
Розв’язання. 1) Перевіримо необхідну і достатню умову компланарності векторів :
.
Оскільки , то вектори некомпланарні, тому вони лінійно незалежні і утворюють базис.
2) Розкладемо вектор за базисом :
або в координатному вигляді:
Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому одержимо систему :